Estudios De Probabilidad Motivados Por El Interés En Los Juegos De Azar

INTRODUCCION

Los inicios de las matemáticas de la estadística se encuentran a mediados del siglo XVIII, en estudios de probabilidad motivados por el interés en los juegos de azar, por lo tanto, la teoría generada de “caras o cruces” y de “rojo o negro” pronto encontró aplicaciones en situaciones donde los resultados eran “niño o niña”, “vida o muerte”, “aprobado o reprobado”, y los estudiantes comenzaron a aplicar la teoría de la probabilidad a problemas actuariales y algunos aspectos de las ciencias sociales, Después, L. Boltzmann, J. Gibbs y J. Maxwell introdujeron a la física la probabilidad y la estadística, y en este siglo se han encontrado aplicaciones en todas las fases del esfuerzo humano que en alguna forma significan elementos de incertidumbre o riesgo. Los nombres que se relacionan en forma más prominente con el crecimiento de la estadística matemática en la primera mitad de este siglo son los de R.A. Fisher, J. Neyman, E.S. Pearson y A. Wald. Más recientemente, el trabajo de R. Shlaifer, L. J. Savage y otros, ha dado ímpetu a teorías estadísticas basadas esencialmente en métodos del clérigo inglés, Thomas Bayes que datan del siglo XVIII.

Métodos combinatorios

En muchos problemas es necesario citar todas las alternativas posibles de una situación dada o por lo menos determinar cuántas posibilidades diferentes existen. Para estos casos frecuentemente se utiliza la “regla de multiplicación” que se define según el siguiente teorema:

Teorema 1.1

Si una operación consta de dos pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1 formas y para cada una de éstas el segundo puede realizarse en n2 formas, entonces la operación se lleva a cabo de maneras.

La “regla de multiplicación” puede ampliarse para comprender situaciones donde una operación consta de un número fijo de pasos. El caso general se enuncia en el siguiente teorema:

Teorema 1.2

Si una operación consta de k pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1 formas, para cada una de éstas el segundo puede realizarse en n2 maneras, para cada un de éstas el tercero puede realizare en n3 formas, etc., entonces toda la operación puede llevarse a cabo en formas.

Con frecuencia, estamos interesados en situaciones donde los productos o resultados son los órdenes o arreglos diferentes de un grupo de objetos. Los diversos arreglos se denominan permutaciones.

Teorema 1.3

El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.

Teorema 1.4

El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez es:

nPr =

En aplicaciones donde intervienen permutaciones, suele ser más sencillo proceder mediante el uso del teorema 1.2, pero la formula del factorial del teorema 1.4 es más fácil de recordar.

Las permutaciones que ocurren cuando se ordenan objetos en un círculo se denominan permutaciones circulares. Dos permutaciones circulares no se consideran distintas si objetos correspondientes de los dos arreglos van precedidos y seguidos de los mismos objetos a medida que avanzamos en el sentido que giran las agujas del reloj.

Teorema 1.5

El número de permutaciones de n objetos distintos ordenados en un círculo es (n-1)!.

En todo lo expuesto se ha considerado que los n objetos de los que se seleccionan r objetos y forman permutaciones son todos diferentes.

Teorema 1.6

El número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, ….., nk son de un k-ésimo tipo, y n1 + n2 + n3+ …+ nk = n, es:

A menudo nos interesa determinar el número de maneras de seleccionar de entre n objetos distintos sin considerar el orden en el cual se seleccionen. Estas selecciones se denominan combinaciones.

En realidad “combinación” significa lo mismo que “subconjunto” y, cuando pedimos el número de combinaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos, simplemente solicitamos el número total de subconjuntos de r objetos que pueden seleccionarse de un conjunto de n objetos diversos. En general, existen r! permutaciones de los objetos en un subconjunto de r objetos, de manera que las nPr permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos diferentes contienen a cada subconjunto r! veces. Al dividir nPr entre r! representar el resultado por medio del símbolo

Teorema 1.7

El número de combinaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos es:

=

PROBABILIDAD

Históricamente, la manera más antigua de medir probabilidades, el concepto clásico de probabilidad, se aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables, como es presumible el caso de la mayoría de juegos de azar. Por consiguiente podemos afirmar que si hay N posibilidades igualmente probables, de las cuales una debe ocurrir y n se consideran favorables o como un “acierto”, entonces la probabilidad de lograr un “acierto” está dada por la razón

Una desventaja importante del concepto clásico de probabilidad es su limitada aplicación, ya que hay muchas situaciones en que las posibilidades que se presentan no pueden considerarse igualmente probables.

Entre los diversos conceptos de probabilidad, el más favorecido es la interpretación de la frecuencia o interpretación frecuentita, según la cual la probabilidad de un evento (resultado o acontecimiento), e la proporción de las veces en que ocurrirán a la larga eventos del mismo tipo.

Un punto de vista alternativo, que actualmente está siendo favorecido, consiste en interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Estas probabilidades expresan la fuerza de nuestra creencia en relación con incertidumbres que están asociadas y se aplican cuando hay poca o ninguna evidencia directa, de manera que no hay otra alternativa más que considerar evidencia colateral (indirecta), “suposiciones razonadas”,

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