Funciones Trigonométricas Inversas

INDICE

INTRODUCCION……………………………………………………………. 2

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS………………….. 2

PROCEDIMIENTOS PARA ENCONTRAR LA INVERSA………………. 3

FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL Y EXPONENCIAL………………… 3

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA……………………………………………… 4

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL……………………………………. 5

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL………………….. 6

INTEGRALES EN LAS QUE INTERVIENEN LOGARITMOS

NATURALES Y EL EXPONENCIAL NATURAL………………………….. 6

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL Y LOGARITMICA CON OTRAS BASES…………………………………………………………………………. 6

FUNCION EXPONENCIAL CON BASE a…………………………………. 6

EJERCICIOS PROPUESTOS………………………………………………. 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS……………………………………….. 8

CONCLUSIONES…………………………………………………………….. 9

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………….. 9

INTRODUCCION.

En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana.

Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:

Función Trigonométrica

Función Logarítmica

Función Exponencial

El principal objetivo de este trabajo es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método de investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma.

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Definición: Se dice que una función es inyectiva o uno a uno, si todo elemento de su rango corresponde a exactamente un elemento de su dominio; es decir, para todo x1, x2 en el dominio de f.

Si x1 x2, entonces f(x1) f(x2) ó si f(x1) = f(x2) entonces x1 = x2

Ejercicio #1 ( a realizar en clase).

Determine si la función es inyectiva

Solución .

Prueba de la recta horizontal: una función es inyectiva sí y sólo si no existe una recta horizontal que corte a su gráfica en más de un punto.

NOTA: Una función puede convertirse en inyectiva si se restringe su dominio.

Por ejemplo, es inyectiva para

De manera más general se tiene el siguiente resultado:

Teorema. Son inyectivas:

a) todas las funcione crecientes y

b) todas las funciones decrecientes

Definición: Sea f una función inyectiva con dominio X y rango Y.

Entonces la función inversa de f, denotada por , es la función con

dominio Y y rango X dado por:

Teorema. “Leyes de cancelación ”.

PROCEDIMIENTOS PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UN FUNCIÓN

1° Usando la ecuación de cancelación

2° Siguiendo tres pasos

1. Se escribe y = f(x)

2. Se despeja “x” de y = f(x) (si esto es posible)

3. Intercambiar “x ” y “ y”. La ecuación resultante es y = f -1(x).

Teorema: “Propiedad reflexiva de las funciones inversas”. El punto P (a, b) está ubicado en la gráfica de f sí y sólo si el punto (b, a ) está ubicado en la gráfica de f -1.

Teorema: “Continuidad y derivabilidad de las funciones inversas”.

Sea f una función que posee inversa.

a) Si f es continua, entonces f -1 es continua.

b) Si f es creciente, entonces f -1 es creciente.

c) Si f es derivable en c y , entonces es derivable en f(c).

FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL Y EXPONENCIAL.

Definición: “Función logaritmo natural”. La función logaritmo natural, denotada por ln, es la definida por

Es importante hacer notar que únicamente se define el logaritmo natural de los números positivos.

Los dos resultados que siguen son consecuencia inmediata de la definición de

la función logaritmo natural.

Recuerde que: a)

Luego ln 1 = 0

b) La derivada de una integral indefinidad es el integrando.

Luego la función ln es derivable y Dx [ ln x ] = .

Gráfica de la funcion logaritmo natural

Graficar y = ln x , x > 0

* Ceros: y=ln x, cuando x = 1

* Y’= (ln x )’ = > 0, porque x > 0, entonces la función logaritmo natural es una función creciente en su dominio.

Y’’= ; entonces la gráfica de la función logaritmo natural

es cóncava hacia abajo.

Teorema: Si u(x) > 0 y u es derivable con respecto a x, entonces:

Ejercicio # 2 ( a realizar en clase).

a) Graficar y = ln (x -6) , x > 6

b) Graficar y = |x – 6| , x6

Teorema: Propiedades de los logaritmos naturales. Si a y b son números positivos y r es racional, entonces se cumple:

1. ln (ab) = ln a + ln b

2. ln () = ln a – ln b

3. ln ar = r ln a

4.

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Para calcular la derivada de funciones complicadas se usa la derivación logarítmica. Esta técnica se aplica así:

1. Se toma el valor absoluto, si fuera necesario, en ambos miembros de la ecuación.

2. Se toma el logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación.

3. Se deriva implícitamente.

4. de despeja y’

Ejercicio # 3 ( a realizar en clase).

Encontrar y’ si

Encontrar y’ si

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL.

La función logaritmo natural es inyectiva y, en consecuencia , tiene una función inversa que denotamos por exp y llamamos “exponencial natural” o simplemente “exponencial”.

Definición: “función exponencial natural”: y = exp x sí y sólo si x = ln y

Los siguientes resultados son consecuencia de la definición anterior.

Dominio de la función exponencial = Rango de la función logaritmo natural =

Rango de la función exponencial = Dominio de la función logaritmo natural =+

Es decir exp x > 0

* Las funciones logaritmo natural

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