PROBABILIDAD

TALLER 1

¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

R/ Se pueden formar 24 palabras, Corresponde a una permutación:

P= 4! = 24

ACIM, ACMI, AICM, AIMC, AMCI, AMIC, CAIM, CAMI, CIAM, CIMA, CMAI, CMIA,

IACM, IAMC, ICAM, ICMA, IMAC, IMCA, MACI, MAIC, MCAI, MCIA, MIAC, MICA.

Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

R/ También se pueden formar 24 palabras; lo que corresponde a una permutación

P = 24

AMSU, AMUS, ASMU, ASUM, AUMS, AUSM, MASU, MAUS, MSAU, MSUA,

MUAS, MUSA, SAMU, SAUM, SMAU, SMUA, SUAM, SUMA, UAMS, UASM,

UMAS, UMSA, USAM, USMA.

¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

R/ Corresponde a una combinación

V = 8!/5!3!=56 Se pueden formar 56 Subconjuntos.

Calcular el valor de m para que Vm,3 = 2 Vm,2:

R/ Vm,3= 2V m,2

M! 2m!

(m-3)! (m-2)!

(m-2)! = 2(m-3)!

(m-2)(m-3)! = 2(m-3)!

(m-2) = 2

M= 4

Hallar el valor de m para que se verifique Vm,2 + Vm-1,2 + Vm-2,2 = 62.

R/ m(m-1) + (m-1)(m-2) + (m-2)(m-3) = 62

m = 6

Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:

R/ a) 11 x 10 x 9

11x10x9 = 11!

8!

b) (x+1) x (x-1)

- (x+1)x(x-1) = (x+1)!

(x-2)!

c) (p-2) (p-3) (p-4)

- (p-2) (p-3) (p-4) = (p-2)!

(p-5)!

Resolver la ecuación Px-1 = 56 Px-3

R/ Px-1 = 56 Px -3

(x-1)! = 56 Px-3

(x-1)! = 56 (x-3)!

(x-1)(x-2)(x-3)! = 56 (x-3)!

X - 3x+2 = 56

X - 3x-54 = 0

(x+9) (x-6) = 0

X1= -9 , X2= 6

Solución = {6}

Resolver la ecuación Vx,2 + 5 P3 = 9x + 6

R/ Vx,2 + 5 P3 = 9x + 6

X! 5 . 3! 9x+6

(x-2)!

X(x-1)(x-2)! 5 . 6 9x+6

(x-2)!

X(x-1)+ 30 = 9x+6

X - x + 30 = 9x + 6

X - 10x + 24 = 0

(x-6) (x-4) = 0

X1= 6 X2= 4

Solución = {4,6]

¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?.

R/ Nº señales sin que se repitan:

De todas las formas posibles:

Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

R/ Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 se pueden formar P5 = 5! = 120 números, s, es decir, los números que se obtienen permutando las cinco cifras.

De estos 120 números, no todos tienen 5 cifras, puesto que los que comienzan por la cifra 0 tienen en realidad 4 cifras.

1) Números que comienzan por 0 = 120/5 = 24

2) Números de cinco cifras: 120 - 24 = 96

¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

R/ Si tienen que empezar por vocal y acabar por vocal, solo me quedan 3 letras para variar: C,S y T. entonces:

P3 = 3! = 6, pero esas 6 palabras pueden empezar por A y acabar por O, o al revés, de modo que en total puedo hacer 12 palabras.

En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?.

R/ Si 3 jugadores solo pueden ser porteros, me quedan 20 jugadores para los 10 puestos restantes del equipo, puesto que el número 11º será uno de los porteros, entonces, las alineaciones posibles:

Para cada uno de los 3 porteros, luego el número total es: 670.442.572.800 • 3 = 2.011.327.718.400.

¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?.

R/ Si de los 11 jugadores, esos 3 no pueden jugar juntos, me quedan 8 jugadores para 4 puestos:

C4/8= (8.7.6.5)/ 4 = 70, pero el 5º puesto puede ser el jugador A, el B ó el C, con lo cual puede hacerse 70•3 = 210 equipos distintos.

A estos hay que añadir los equipos que se pueden hacer sin que jueguen ni A, ni B, ni

...