Regresion Curvilinea

REGRESION CURVILINEA

REGRESIÓN.-

Se define como un procedimiento mediante el cual se trata de determinar si existe o no relación de dependencia entre dos o más variables. Es decir, conociendo los valores de una variable independiente, se trata de estimar los valores, de una o más variables dependientes.

REGRESION CURVILINEA

Cuando las variables X e Y se relacionan según una línea curva, se habla de regresión no lineal o curvilínea. Es una función de segundo grado la que se ajusta lo suficiente a la situación real dada.

La expresión general de un polinomio de segundo grado es:

Y =a+bX+cX2 donde a , b y c son los parámetros.

El problema consiste, por tanto, en determinar dichos parámetros para una distribución dada. Se seguirá para ello, un razonamiento y la utilización de las ecuaciones normales de Gauss. Las ecuaciones normales son:

∑ Y = na + b ∑ X + C ∑ X2 (1)

∑ X Y = a ∑ X + b ∑ X2 + C ∑ X3 (2)

∑ X2 Y = a ∑ X2 + b ∑ X3 + C ∑ X4 (3)

Para lo cual se necesita elaborar el cuadro con cada una de las variables que aparecen en las ecuaciones normales y los resultados obtenidos en este sustituirlos en ellas para encontrar los valores de las constantes.

Para encontrar los valores de las constantes utilizaremos matrices.

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)

Al encontrar los valores de las constantes que buscamos sustituimos los valores en la ecuación de regresión curvilínea para obtener los resultados que buscamos. Y poder hacer las estimaciones correspondientes.

CONCEPTOS BÁSICOS

Análisis de Regresión: Es un procedimiento estadístico que estudia la relación funcional entre variables. Con el objeto de predecir una en función de la/s otra/s.

Análisis de Correlación: Un grupo de técnicas estadísticas usadas para medir la intensidad de la relación entre dos variables

Diagrama de Dispersión: Es un gráfico que muestra la intensidad y el sentido de la relación entre dos variables de interés.

Variable dependiente (respuesta, predicha, ): es la variable que se desea predecir o estimar

Variables independientes (predictoras, explicativas). Son las variables que proveen las bases para estimar.

PASOS PARA REALIZAR LA REGRESIÓN CURVILÍNEA:

1. Se toman los datos proporcionados a analizar y se forman los pares ordenados.

2. Se representan dichos valores en los ejes del plano cartesiano, dando lugar a un diagrama de dispersión o nube de puntos. El cual para que sea curvilínea debe ser una curva.

3. Ajustamos a una función de segundo grado Yc = a + bx + cx2 para encontrar las ecuaciones normales.

4. Elaborar tabla con los resultados que según las ecuaciones normales debemos calcular para luego sustituir en dichas ecuaciones.

5. Sustituir en el sistema de ecuaciones normales

6. Utilizar matriz para encontrar los parámetros de “a”, “b” y “c” para sustituirlos en la ecuación de la regresión curvilínea.

7. Sustituir los valores de “a”, “b” y “c” en la ecuación Yc = a + b X + c X2 y complementar la tabla.

EJEMPLOS

EJEMPL0 1. Caso parabólico. (Función de segundo grado).Calculemos la ecuación de regresión para la siguiente información: los datos pertenecen a la cantidad de una sustancia que permanece en un sistema químico en reacción, después de X minutos.

X i (mínimos) 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0 3.2 3.5 4.0 4.5 5.0 5.2 5.5 6.0

Yi (gramos) 34 32 26 18 18 12 14 12 15 13 18 16 22 26 35

Primero llevamos los datos a una grafica para ver la forma que toma el diagrama de dispersión y así ver la función que se adecua mas a la información obtenida.

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