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Serie De Furrier

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Enviado por:  arturo18582185  18 enero 2013
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Palabras: 455   |   Páginas: 2
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Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

[editar]Ingeniería

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

Por lo tanto:

[editar]Aplicaciones

• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.

• Reforzamiento de señales.

• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

[editar]Formulación moderna

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con . Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de puedan desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto de funciones exponenciales es una base ortonormal del espacio . El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarroll

o de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier , se verifica que:

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

[editar]Formulación general

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útil ...



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