TRABAJO COLABORATIVO 1 DE ALGEBRA LINEAL

Ejercicios Algebra

Dados los vectores en su forma polar

|u|=5,θ=135°

u=5(cos⁡(135°),sen(135°))

u=5(-√2/2,√2/2)=(-(5√2)/2,(5√2)/2)

|v|=3,θ=60°

v=3(cos⁡(60°),sen(60°))

v=3(1/2,√3/2)=(3/2,(3√3)/2)

Operaciones

2u+v=

2u+v=2(-(5√2)/2,(5√2)/2)+(3/2,(3√3)/2)

(-5√2,5√2)+(3/2,(3√3)/2)

(-5√2+3/2,5√2+(3√3)/2)=((-10√2+3)/2,(10√2+3√2)/2)

V-u=

(3/2,(3√3)/2)-(-(5√2)/2,(5√2)/2)

(3/2,(3√3)/2)+((5√2)/2,-(5√2)/2)

(3/2+(5√2)/2,(3√3)/2-(5√2)/2)

((3+5√2)/2,(3√3-5√2)/2)

3v-4u=

3(3/2,(3√3)/2)-4(-(5√2)/2,(5√2)/2)

(9/2,(9√3)/2)+((20√2)/2,-(20√2)/2)

((9+20√2)/2,(9√3-20√2)/2)

Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:

u=2i+9j v=-10i-4j

Dado que

cos⁡(θ)=(u*v)/|u||v|

Tenemos,

cos⁡(θ)=(((2i+9j)*(-10i-4j)))/|2i+9j||-10i-4j|

cos⁡(θ)=((-20i^2-36j^2 ))/(√(4+81) √(100+16))

cos⁡(θ)=((-20-36))/(√85 √116)=-56/√9860≈-0.5639

θ=cos^(-1)⁡〖-56/√9860≈124,33°〗

w=-2i-3j u=-7i-5j

Dado que

cos⁡(θ)=(u*v)/|u||v|

Tenemos,

cos⁡(θ)=(((-2i-3j)*(-7i-5j)))/|-2i-3j||-7i-5j|

cos⁡(θ)=((14i^2+15j^2 ))/(√(4+9) √(49+25))

cos⁡(θ)=((14+15))/(√13 √74)=29/√962≈0.9349

θ=cos^(-1)⁡〖(29/√962)≈20.77°〗

Calcule A^(-1)usando el método Gauss-Jordan

[■(-5&5&5@7&0&-8@1&2&3)][■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)]

fila1↔fila3

[■(1&2&3@7&0&-8@-5&5&5)][■(0&0&1@0&1&0@1&0&0)]

fila2= -7fila1+fila2

[■(1&2&3@0&-14&-29@-5&5&5)][■(0&0&1@0&1&-7@1&0&0)]

fila3=5fila1+fila3

[■(1&2&3@0&-14&-29@0&15&20)][■(0&0&1@0&1&-7@1&0&5)]

fila2=-1/14 fila2

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&15&20)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@1&0&5)]

fila3=-15fila2+fila3

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&0&-155/14)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@1&15/14&-5/2)]

fila3=-14/155 fila3

[■(1&2&3@0&1&29/14@0&0&1)][■(0&0&1@0&-1/14&1/2@-14/155&-3/31&7/31)]

fila1=-2fila2+fila1

[■(1&0&-8/7@0&1&29/14@0&0&1)][■(0&1/7&0@0&-1/14&1/2@-14/155&-3/31&7/31)]

fila2=-29/14 fila3+fila2

[■(1&0&-8/7@0&1&0@0&0&1)][■(0&1/7&0@29/155&4/31&1/31@-14/155&-3/31&7/31)]

fila1=8/7 fila3+fila1

[■(1&0&0@0&1&0@0&0&1)][■(-16/155&1/31&8/31@29/155&4/31&1/31@-14/155&-3/31&7/31)]

Verificación Puntos 3,4 y 5 en excel.

Calculo de determinantes mediante propiedades:

Sea la matriz

■(1&0&9@-1&2&3@■(-1@0@0)&■(0@0@7)&■(-1@0@0))■(2&1@-2&1@■(2@2@1)&■(1@-2@1))

Entonces,

fila1=fila1+fila3

■(1&0&9@-1&2&3@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@-2&1@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

fila2=fila1+fila2

■(1&0&9@0&2&12@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@0&2@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

2 det⁡(B)=1/2 fila2

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@7)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@1)&■(2@-2@1))

fila5=-7fila2+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@-42))■(2&1@0&1@■(4@2@1)&■(2@-2@-6))

fila5=21/4 fila3+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@22)&■(2@-2@9/2))

fila5=-11fila4+fila5

■(1&0&9@0&1&6@■(0@0@0)&■(0@0@0)&■(8@0@0))■(2&1@0&1@■(4@2@0)&■(2@-2@53/2))

Por tanto, el determinante está dado por:

Det(B)=(2)(1)(1)(8)(2)(53/2)=848

Encontrar la matriz inversa por medio de la matriz adjunta

A= [■(-1&1&-1@0&2&0@3&1&-5)]

Los Cofactores de dicha matriz están dados por:

C_11=(-1)^(1+1) |■(2&0@1&-5)|=-10

C_12=(-1)^(1+2) |■(0&0@3&-5)|=0

C_13=(-1)^(1+3) |■(0&2@3&1)|=-6

C_21=(-1)^(2+1) |■(1&-1@1&-5)|=4

C_22=(-1)^(2+2) |■(-1&-1@3&-5)|=8

C_23=(-1)^(2+3) |■(-1&1@3&1)|=4

C_31=(-1)^(3+1) |■(1&-1@2&0)|=2

C_32=(-1)^(3+2) |■(-1&-1@0&0)|=0

C_33=(-1)^(3+3) |■(-1&1@2&0)|=-2

Construimos entonces una matriz de cofactores:

Cofac(A)=[■(-10&0&-6@4&8&4@2&0&-2)]

La matriz adjunta es la traspuesta de los cofactores,

Adj(A)= [■(-10&4&2@0&8&0@-6&4&-2)]

El determinante está dado por:

det⁡(A)=〖(-1)C〗_11+〖〖1C〗_12+(-1)C_13〗^

(-1)(-1)^(1+1) |■(2&0@1&-5)|+〖(1)(-1)〗^(1+2) |■(0&0@3&-5)|+〖(-1)(-1)〗^(1+3) |■(0&2@3&1)|

=(10)+0+(6)=16

Por tanto, la matriz inversa de A es:

A^(-1)=1/16 [■(-10&4&2@0&8&0@-6&4&-2)]

A^(-1)=[■(-10/16&4/16&2/16@0&8/16&0@-6/16&4/16&-2/16)]=[■(-5/8&1/4&1/8@0&1/2&0@-3/8&1/4&-1/8)]

INTRODUCCIÓN

Con el fin de comprender y entender mejor la estructura y finalidad del Algebra Lineal, en esta actividad trataremos de analizar conceptos en sistemas lineales utilizando los diferentes métodos de eliminación, con aplicación del método Gaussiana, Gauss-Jordán, Regla de Cramer entre otros. Encontraremos también las intenciones que cada uno tiene y provee al participar con proyección, actitud y responsabilidad dentro de las actividades y objetivos temáticos a realizar en esta unidad.

En este trabajo podremos ver información útil del grupo colaborativo, información del como la materia Algebra Lineal nos fortalece en diferentes áreas profesionales hacia una mejor proyección.

En todo el desarrollo de los ejercicios encontrarán, paso a paso la solución de los ejercicios expuestos por el Tutor, afianzando así un buen estudio significativo.

Además El dominio del álgebra Lineal es fundamental para afrontar con éxito otros temas de este curso, que utilizan las matrices como herramienta, entre los que podemos citar, por ejemplo: determinantes, resolución de sistemas de ecuaciones lineales. También resulta muy útil la adquisición de estrategias para simplificar cálculos laboriosos.

OBJETIVOS

1. Identificar los deferentes métodos para resolver sistemas lineales.

2. Emplear métodos para resolver sistemas lineales

3. Resolver el sistema lineal empleando la inversa de una matriz

4. Motivar al estudiante para que aprenda por sus propios métodos en base a investigaciones y ejercicios propuestos.

5. El objetivo principal de este trabajo es comprender los temas de la segunda unidad de álgebra lineal

1. Utilice el método de eliminación Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

Respuesta:

Ahora, llevamos la matriz “A” a su forma escalonada:

Ahora, reducimos la matriz A/b

Luego

Por tanto,

1.2

Respuesta:

Se puede observar que hay un número menor de ecuaciones que de incógnitas, lo que muestra que no hay una única solución sino un conjunto infinito de soluciones. Veamos:

Reducción de la matriz A/b:

Dado que no se puede reducir más, se reescribe en forma algebraica:

De donde,

Respuesta:

Matriz A :

A = = 1*(-1)*1+(-1)*(-3)*(-7)+5*(-7)-7*(1)*(-7)-(-1)*5*1-(-3)*2*1 = -32

C11 = = (-1) * 1 – 3 * 2 = 5

C12 = = (-1) * 5 * 1 –(- 3) * 7) = 16

C13 = = 5 * 2 – (-1) * 7 = 3

C21 = = (-1) * ((-1) * 1 – (-7) * 2) = 13

C22 = = 1 * 1 –(- 7) * (-7) = - 48

C23 = = (-1) * (1 * 2 – 1 * (-7)) = 5

C31 = = (-1) * (-3) * 1 – (-7) * (-1) = - 4

C32 = = ( - 1) * ( 1* (- 3) - (-7) * 5) = 32

C33 = = 1 * (-1) – (-1) * 5 = 4

Ahora, procedemos a realizar la matriz de cofactores:

Cof (A) = Cof = (A) = cof (A)’ =

Inv (A) =

Ahora,

Por tanto,

Respuestas:

3.1 P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2)

P = (-8, -7, 10) y Q = (-1, 5, -3)

V = PQ = (x2 - x1) i + (y2 – y1) j + (z2 - z1) k

V = PQ = (-1 – (-8)) i + (5 – (-7)) j + (-3 – (10)) k

Ecuación general de la paramétrica:

V = PQ = ai +bj + ck

V = PQ = 7i +12j - 13k

Ecuaciones paramétricas:

x = x1+ ta x = -8 + 7t

y = y1 + ta x = - 7 + 12t

z = z1+ ta x = 10 – 13t

Ecuación simétrica:

x - x1 = y - y1 = z - z1

a b c

x – (-8) = y – (-7) = z - 10

7 12 -13

x + 8 = y + 7 = z - 10

7 12 -13

P = (x2, y2, z2)

P = (5, 3, -7)

x - x1 = y - y1 = z - z1

a b c

x –3 = y – 10 = z - 8

2 -8 5

x + 8 = y + 7 = z - 10

7 12 -13

Ahora, después de identificar las x, y, z, la solución es:

V = PQ = (x2 - x1) i + (y2 – y1) j + (z2 - z1) k

V = PQ = ( 5 – (-3)) i + (3 – (-10)) j + (- 7 – (-8)) k

Ecuación general de paramétrica:

V = PQ = ai +bj + ck

V = PQ = 8i +13j + k

Ecuaciones paramétricas:

x = x1+ ta x = - 3 + 8t

y = y1 + ta x = - 10 + 13t

z = z1+ ta x = - 8 + t

Ahora, hacemos la ecuación simétrica:

x - x1 = y - y1 = z - z1

a b c

x –(-3) = y – (-10) = z – (-8)

8 13 1

x + 3 = y + 10 = z + 8

8 13 1

Respuestas:

4.1

P Q = (-3 –(-4)i + (7 – (-5)) j + (-8 -8) k

P Q = (-3 + 4) i + (7 + 5) j + (-16) k

P Q = i + 12 j -16 k

P R = (-3 –(-4) i + (-3 – (-5)) j + (5 -8) k

P R = (-3 + 4) i + (-3 + 5) j + (5 -8) k

P R = i + 2 j - 3 k

PQ x PR =

i = -j + k

 (-36 + 32) i - (-3 + 16) j + (2 – 12) k

 - 4 i - 13 j – 10 k

 Ecuación del Plano:

-4 (x + 3) – 13(y – 7) -10(z + 8) = 0

-4x -12 - 13y + 91 - 10z -80 = 0

-4x - 13y - 10z - 1 = 0

P = (1, 9, -3) n = (-i, -9j + 7k)

-1(x – 1) – 9(y – 9) + 7 ( z – (-3) ) = 0

-x + 1 -9y + 81 +7z + 21 = 0

-x - 9y + 7z + 103 = 0

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

y

Debemos resolver las dos ecuaciones simultáneamente

Aquí finaliza el método de reducción de Gauss-Jordán

Las ecuaciones resultantes son:

z

z

Note que z (que está presente en las dos ecuaciones) es la variable libre por lo tanto despejamos X y Y tenemos:

x x

Si designamos a z nos queda

Que son las ecuaciones paramétricas de la recta en que se interceptan planos

BIBLIOGRAFÍA

1. Modulo De Algebra lineal “UNAD”

2. Zúñiga, Camilo (2008). Protocolo de Algebra Lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD http://66.165.175.238/moodle/mod/resourse/view.php?id=5378

3. Zúñiga, Camilo (2008). Algebra Lineal-Modulo 2 Créditos-Definitivo. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD http://66.165.175.238/moodle/course/view.php?id=58 Contenido para descargar

4. http://www.youtube.com/watch?v=6XYa3Fmgk5c&feature=related

5. http://www.youtube.com/watch?v=91xUg1L7O7s&feature=related

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