ALFABETO GRIEGO

EL PROBLEMA DE MONTY HALL

En un programa de televisión estadounidense llamado “Let’sMake a Deal”, el presentador, Monty Hall, epónimo de nuestro problema, propone lo que “Chabelo” en su programa “En familia con Chabelo”, llama “la catafixia”. El problema reza más o menos así:

Un concursante escoge, al azar, una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás de la puerta escogida. Una de ellas oculta el premio, y tras las otras dos no hay premio. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que no hay premio detrás de ella. Ahora el concursante tiene la oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección inicial, escoger la otra puerta o es indistinto cambiar o no de puerta? Justifique su respuesta con base en teoría de probabilidad.

RESPUESTA.

Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos. Asumimos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver qué tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el premio.

Suceso Descripción

E_1 El concursante selecciona la puerta que contiene el premio en su selección inicial.

E_2 El concursante selecciona una puerta que no contiene el premio en su selección inicial.

G El concursante gana el coche.

Observemos que los eventos cumplen con:

E_1 UE_2=Ω

E_1∩E_2=∅

P(E_1 )=1⁄3

P(E_2 )=2⁄3

Demostraremos que G=(G∩E_1 )∪(G∩E_2 ).

G=G∪∅=G∪(E_1∩E_2 )=(G∪E_1 )∩(〖G∪E〗_2 )=(G∩E_1 )∪(G∩E_2 )

Ahora demostraremos que (G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=∅

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=[(G∩E_1 )∩G]∩E_2=[G∩(E_1∩G) ]∩E_2

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=[G∩(G∩E_1 ) ]∩E_2=[(G∩G) 〖∩E〗_1 ]∩E_2

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=(〖G∩E〗_1 )∩E_2=G∩(E_1∩E_2 )=G∩∅=∅

Por tanto:

P(G)=P[(G∩E_1 )∪(G∩E_2 ) ]=P(G∩E_1 )+P(G∩E_2 )

P(G)=P(G/E_1 )P(E_1 )+P(G/E_2 )(E_2 )

Ahora definimos qué tipo de concursante estamos considerando.

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