AUTOMATAS Y LENGUAJES FORMALES

ACTIVIDAD 2: AUTOMATAS Y LENGUAJES FORMALES

NOMBRE

TUTOR:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

CEAD PITALITO

2012

INTRODUCCIÓN

Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán George Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.

Cuando tenemos reunidos una colección de diferentes componentes, podemos conocer la naturaleza y las razones para comprender el concepto de la teoría de conjuntos. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman elemento s del conjunto. Para que un conjunto pueda ser definido los elementos que lo forman deben compartir al menos una propiedad, para que en un momento determinado sea posible identificar si un objeto cualquiera es un elemento del conjunto. Con mucha frecuencia, cuando hablamos de conjuntos nos referimos a una agrupación o Colección de cosas, animales, u objetos, desde un sentido práctico Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.

JUSTIFICACIÓN

La teoría de conjuntos juega un papel central en las áreas fundacionales de la matemática, por lo tanto debe ser de dominio básico para cualquier matemático que desea interactuar con diversas ramas como el álgebra, análisis, topología entre otras.

TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una sub colección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNION

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A È B = { x/x Î A ó x Î B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }

A È B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCION

Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: {2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:

A Ç B = {x/x Î A y x Î B }

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ç P= {a, b, o, r, s, y }

CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ

Por ejemplo:

Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B.

A Ç B= { }

El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ç B=Æ

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:

A'= {x Î U/x y x Ï A}

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

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