Calculo Diferencial Integrales

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LA FUERZA ARMADA UNEFA

NÚCLEO FALCON. EXTENSION PUNTO FIJO.

CÁTEDRA: MATEMÁTICA I

REALIZADO POR:

PROF. ING. IVAN J. ACOSTA

PUNTO FIJO, ENERO 2008

INDICE

 DEDDICATORIA

3

 LA INTEGRACION

 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS

 INTEGRALES INMEDIATAS

 INTEGRALES POR SUSTITUCION

 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 4

5

6

8

20

ESTE TRABAJO ESTA DEDICADO CON TODO

MI CARIÑO Y APRECIO A MIS ALUMNOS DE INGENIERIA DE SISTEMAS

E INGENIERIA NAVAL DE ESTA INSIGNE CASA DE ESTUDIOS…

GRACIAS A USTEDES ESTO SE HIZO POSIBLE…,

USTEDES LO HACEN POSIBLE.

S.L.Q.M.

I. J. ACOSTA M.

1-. LA INTEGRACION:

Dada una función , una primitiva arbitraria de se denomina generalmente Integral indefinida de y se escribe en la forma:

.

La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada. Si es una función tal que para en un intervalo , entonces la integral indefinida de está dada por:

En la expresión “C” es cualquier número real y recibe el nombre de constante arbitraria o constante de integración.

La integral presenta los siguientes elementos:

De la siguiente grafica se pueden extraer el siguiente comentario:

- La variable x se le llama variable ficticia, puesto que es la que esta presente en la función.

Ejemplo 1.

Si una primitiva es entonces otras primitivas serian:

Entonces la Antiderivada seria:

Proposición.1.

Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es. En efecto ya que (F+C)’=F’+C’= F’ +0= f

El proceso que permite determinar la función primitiva de una función recibe el nombre de integración de la función

2-. PROIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

A-.) PROPIEDAD DE LINEALIDAD:

Es consecuencia de que la derivada de la suma es la suma d las derivadas lo mismo pasa con las integrales: La integral de una suma (o resta) de varias funciones es igual a las integrales de cada una de las funciones.

Ejemplo 2.

B-.) FACTOR CONSTANTE:

Es decir el factor constante puede salir de la integral.

Ejemplo 3.

3-.) INTEGRAL INMEDIATA:

Son aquellas integrales que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado.

Ejemplo 4.

-.) Hallar la integral:

De la tabla de integrales inmediatas se tiene que:

por lo tanto:

-.) Hallar la integral:

Aplicando la propiedad de linealidad:

Sacando los Factores constantes de la integral:

Nota: Aun cuando existen tres letras distintas en la integral, se debe recordar que la variable ficticia es la que presenta el diferencial y es la “x”, por lo tanto, toda letra diferente a la que presenta el diferencial representa una constante.

Para efectos del ejercicio “a” y “b” son constantes.

De la tabla de integrales inmediatas se tiene que:

Por lo tanto el resultado es:

Las constantes “C1” y “C2” se transforman en una sola constante “C”, entonces:

Hallar la integral:

Aplicando la propiedad de linealidad:

Sacando los Factores constantes de la integral:

De la tabla de integrales inmediatas se tiene que:

Por lo tanto el resultado es:

Simplificando queda:

Ejercicios 1:

Hallar las siguientes integrales inmediatas:

4-.) INTEGRALES POR SUSTITUCION:

Son aquellas integrales que requieren de una sustitución basada en la aplicación de la Regla de la Cadena.

Proposición.2.

Si F es una primitiva de f y h(x)=F(u(x))

Demostración

Se basa en la regla de la cadena. Si F es primitiva de f F’(x)=f(x) y h’(x)= F’(u(x)).u’(x) =f(u(x)).u’(x), usando la regla de la cadena, luego h(x) es una primitiva de f(u(x))u’(x).

Ejemplo 4.

-. Hallar la integral:

Razonamiento

Observando el integrando se tiene un binomio de grado “3” que está elevado a la séptima potencia. También se puede observar la variable elevada a la potencia 2, por lo tanto se procede a derivar el binomio (sin el exponente) cuya variable disminuirá en un grado tal y como se muestra a continuación:

Nota:

Se coloca “dx” al lado del término “3x2“ para indicar que ya fue derivado.

Haciendo

En la derivada aparece la otra parte del integrando y el diferencial:

Despejando:

Así se lleva a cabo el cambio:

La integral que resulta del cambio es:

De la tabla de integrales inmediatas se tiene que:

Por lo tanto el resultado es:

Devolviendo el cambio:

La integral queda:

Finalmente, la integral obtenida es:

-. Hallar la integral:

...