Diseño Mecanico

vibraciones longitudinales en el elemento prismático( barra).

las vibraciones longitudinales en una barra se producen cuando una fuerza externa actúa sobre la barra de forma que cambia su longitud y volumen, sin alterar su forma. si consideramos que no hay rozamiento, la variación de longitud en cada diferencial de volumen de la barra se propagará según la ecuación de ondas . el estudio de estas vibraciones nos permite entender mejor la propagación de ondas acústicas en medios confinados, de lo que constituirían un ejemplo. además, tienen aplicaciones prácticas como son la utilización de la frecuencia fundamental de barras circulares de diferentes longitudes para construir normas de frecuencia de tonos definidos, o el uso de la frecuencia de vibración longitudinal de un cristal piezoeléctrico para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para excitar un transductor electroacústico. también tiene

Aplicaciones en el análisis de la respuesta de estructuras formadas por barras, o que se puedan modelar como barras con cargas másicas en los extremos, a fuerzas externas. En el trabajo que aquí presentamos pretendemos estudiar, en un primer acercamiento, la

propagación de ondas longitudinales en barras, utilizando para ello el método de simulación por

redes.

El método de simulación por redes esta basado en la obtención de un modelo en red equivalente al

proceso en estudio y su posterior simulación con un programa adecuado de resolución de circuitos

eléctricos. En nuestro caso se ha usado el programa PSPICE [3], con el que podemos encontrar

como evolucionan los potenciales y corrientes del circuito con el tiempo, potenciales y corrientes

que representan a las variables de interés para nosotros.

Modelo en Red

Para la obtención del modelo en red equivalente, partimos del modelo matemático que

proporciona la descripción local del proceso y se elabora la celda en red elemental, es decir, la que

corresponde al proceso localizado en un volumen elemental. La asociación de tales redes

elementales viene a describir el proceso en cuestión en un medio finito, descripción tanto más

exacta cuanto mayor sea el numero de redes elementales que se conecten [4].

En el caso de la propagación de ondas elásticas a lo largo de una barra, la ecuación que describe el

proceso es la ecuación de ondas:

2

2

2 2

2

c t

1

x ∂

∂ ξ

=

∂

∂ ξ

(1)

siendo ξ la elongación, x la posición, t el tiempo y c la velocidad de propagación de la onda. El primer paso para obtener la celda en red elemental consiste en realizar la discretización

espacial. Dividamos la región espacial bajo estudio en N compartimentos de espesor ∆x. Si se

define la variable flujo como:

x

j Y

∂

∂ξ

= − (2)

sustituyendo en la ecuación de ondas obtenemos:

0

2

t

2

x

j

=

∂

∂ ξ

+ ρ

∂

∂

(3)

Esta derivada será aproximada por la diferencia finita de las corrientes que circulan por la

izquierda y derecha de la celda, con lo que la única derivada parcial que nos queda es con respecto

al tiempo:

0

t

j j x

2

2

i i

=

∂

∂ ξ

−∆ − +∆ −ρ∆ (4)

Podemos considerar esta ecuación como una relación de flujos entrantes y salientes dentro de cada

compartimento, de forma que podemos rescribirla como:

j j j 0 i−∆ − i+∆ − γi

= (5)

con

2

2

i

t

j x

∂

∂ ξ

γ

=ρ∆ (6)

Una vez realizada la discretización espacial, y establecidas las analogías correspondientes entre

ecuaciones del sistema y ecuaciones de elementos de circuitos, el modelo en red obtenido,

siempre teniendo en cuenta el obligado cumplimiento de las leyes de Kirchhoff, es el siguiente: E-GLEA 2

M.T. García Hernández et al 51

ξ i

Figura 1. Modelo en red elemental

Esta es la red elemental que deberá asociarse N para obtener la descripción del proceso.

Obviamente, la completa equivalencia del modelo debe pasar por la incorporación de las

condiciones iniciales y de contorno correspondientes a cada sistema particular.

Barra Forzada-Fija

Hemos implementado distintas condiciones en una barra [1]. En primer lugar simulamos una barra

inicialmente en equilibrio con el extremo izquierdo sometido a una fuerza externa sinusoidal y el

otro extremo fijo. Esto supone que debemos fijar la corriente del extremo izquierdo con una

fuente de corriente sinusoidal y que el potencial (la elongación) del extremo derecho sea siempre

cero, por lo que conectamos ese extremo a tierra. En la Figura 2 mostramos el modelo en red de

esas condiciones de contorno.

X=0 X=L

Figura 2. Modelado de las condiciones de contorno: extremo forzado y extremo fijo E-GLEA 2

52 M.T. García Hernández et al

A continuación, presentamos los resultados obtenidos al simular la barra forzada-fija, de aluminio

y de un metro de largo, en la posición x=0.5 m (centro de la barra):

Figura 3. Resultado de la simulación en x=0.5 m al aplicar una fuerza sinusoidal de frecuencia 25

Hz

Figura 4. Resultado de la simulación en x=0.5 m al aplicar una fuerza sinusoidal de frecuencia

25000 Hz

Para una frecuencia de excitación baja, de 25 Hz, se observa que ese trozo de barra vibra de forma

sinusoidal con la misma frecuencia con que estamos excitando la barra, aunque si ampliamos la

imagen vemos que aparecen pequeñas oscilaciones

...