Evidencias De Aprendizaje
Enviado por claudio1960 • 16 de Septiembre de 2013 • 1.840 Palabras (8 Páginas) • 1.385 Visitas
Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita
Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.
Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende de .
.
Derivando respectivamente
d/dx 〖sen〗^2 (xy)+d/dx xy^2=d/dx x^3+1
Utilizando la regla de la cadena para
d/dx 〖sen〗^2 (xy)=〖du〗^2/du du/dx
Siendo u=senx d/du(u^2)=2u
Entonces d/dx 〖sen〗^2 (xy)=2(d/dx (sen(xy) )senxy
Ahora utilizando la regla de la cadena para
d/dx (sen(xy) )=dsenu/dx du/dx
Siendo u=xy d/du senu=cosu
Entonces d/dx (sen(xy) )=cosxy(d/dx xy)2senxy=2cosxy(d/dx xy)senxy
Ahora aplicando regla del producto y queda
d/dx uv=d/dx xy=vu´+uv´ u=x v=y
d/dx (sen(xy) )=x(d/dx y)+y(d/dx x)2cosxysenxy=2cosxysenxy(y´(x)x+(d/dx x)y)
=2cosxysenxy(y+xy´(x))
Utilizando regla del producto para
d/dx xy^2=d/dx uv=vu´+uv´
Siendo u=x v=y^2
Entonces
d/dx xy^2=x(d/dx y^2 )+y^2 (d/dx x)=x(d/dx y^2 )+(d/dx x) y^2
Por Regla de la cadena
Siendo
d/dx y^2=〖du〗^2/du du/dx
Con u=y d/du u^2=2u
Entonces
d/dx xy^2=2y(d/dx y)x+(d/dx x) y^2
La derivada d/dx y=y´(x)
Entonces
d/dx xy^2=y´(x)2xy+(d/dx x) y^2=2xyy´(x)+(d/dx x) y^2=y^2+2xyy´(x)
Ahora buscando
d/dx x^3+1=3x^2
En nuestra ecuación implícita original
d/dx 〖sen〗^2 (xy)+d/dx xy^2=d/dx x^3+1
Sustituimos valores
2cosxysenxy(y+xy´(x) )+y^2+2xyy´(x)=3x^2
Acomodando
y^2+2xyy´(x)+2cosxysenxy(y+xy´(x) )=3x^2
Realizando operaciones
(2cosxysenxy)y+y^2+2xcosxysenxyy´(x)+2xyy´(x)=3x^2
Despejando 2ysenxycosxy+y^2 al lado contario
2xcosxysenxyy´(x)+2xyy´(x)=3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2
En el lado izquierdo colecta los términos con y´(x)
(2xcosxysenxy+2xy)y´(x)=3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2
Finalmente realizando operaciones queda
y´(x)=(3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2)/((2xcosxysenxy+2xy) )
y´(x)=(3x^2-ysen(2xy)-y^2)/x(sen(2xy)+2y)
.
Derivando término por término en la ecuación implícita
d/dx √(x+x^2 y )+d/dx e^xy=d/dx In(x+y)
Utilizando regla de la cadena
d/dx e^xy=(de^u)/du du/dx u=x d/du e^u=e^u
d/dx e^xy=e^xy d/dx xy
Utilizando regla del producto para
d/dx xy=d/dx uv=vu´+uv´ u=x v=y
Luego realizando derivadas correspondientes queda y operaciones se sigue que
d/dx e^xy=x d/dx y+d/dx xye^xy=e^xy (y´(x)x+(d/dx x)y)=e^xy (y+xy´(x))
Ahora ocupando regla de la cadena para
d/dx √(x+x^2 y )=(d√u)/du du/dx u=x^2 y+x d/du √u=1/(2√u)
d/dx √(x+x^2 y )=(1+2xy+x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))
Para el siguiente ocupando regla de la cadena
d/dx In(x+y)=dIn(u)/du du/dx u=x+y d/du Inu=1/u
d/dx In(x+y)=(d/dx(x+y))/(x+y)=(d/dx x+d/dx y)/(x+y)=(1+d/dx y)/(x+y)=(1+y´(x))/(x+y)
En nuestra ecuación implícita original
d/dx √(x+x^2 y )+d/dx e^xy=d/dx In(x+y)
Sustituimos valores
(1+2xy+x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))+e^xy (y+xy´(x) )=(1+y´(x))/(x+y)
Realizando operaciones correspondientes
e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))=1/(x+y)+(y´(x))/(x+y)
Luego resta (y´(x))/(x+y) en ambos lados
e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))
-(y´(x))/(x+y)=1/(x+y)+(y´(x))/(x+y)-(y´(x))/(x+y)
e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))-(y´(x))/(x+y)=1/(x+y)
Pasa consigno contrario y al lado contrario xy/√(x+x^2 y )+1/(2√(x+x^2 y ))+ye^xy y queda
e^xy xy´(x)-(y´(x))/(x+y)+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))=-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y )
Colecciona los términos del lado izquierdo para y´(x)
(e^xy x-1/(x+y)+x^2/(2√(x+x^2 y )))y´(x)=-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y )
Despejando y´(x) queda finalmente
y´(x)=(-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y ))/(e^xy x-1/(x+y)+x^2/(2√(x+x^2 y )))
y´(x)=(y(-xy/√(x+x^2 y )-(e^xy ) )-1/(2√(x+x^2 y ))+1/(x+y))/(x^2/(2√(x+x^2 y )) 〖+xe〗^xy-1/(x+y))
...