NUMEROS REALES
Enviado por KOREANA_29 • 21 de Julio de 2011 • 885 Palabras (4 Páginas) • 3.355 Visitas
NUMEROS REALES
1. El Sistema de los números reales.
El conjunto de los números reales simbolizados por IR, comprende a los números racionales (Q) e irracionales (Q’), por tanto incluye a los positivos IR; negativos IR- el cero (0), enteros (Z), Fraccionarios (Z’) naturales(N).
El cálculo I, opera con los números reales, de amanera que todos los análisis a realizar se efectuarán con esta clase de números.
2. Propiedades de los IR
Son los siguientes: Si a, b, c, IR
A1 : a + b = b + a
A2 : a + (b+c) = (a+b)+c
A3 : a + 0 = a
A4 : a + (-a) = 0
A5 : a.b = b.a
A6 : a(b.c) = (a.b).c
A7 : a.1 = a
A8 : a(a-1) = 1
A9 : a (b+c) = ab+ac
A10 : a > 0 , b > 0 => a + b > 0
A > 0 , b > 0 => a.b > 0
A 11 : a es positivo (a > 0)
a es cero (a = 0) Ley de tricotomía
a no es positivo (a < 0)
Ejemplos:
Demostrar los siguientes teoremas de los números reales.
1) Si a + c = b + c => a = b
Demostración:
a + c = b 6 c Partiendo de la proposición original
(-c) = (-c) Existencia del opuesto.
(a + c) + (-c) = (b+c) + (-c) Sumando ambos miembros de la igualdad.
a + [c+(-c)] = b + [c+(-c)] Asociatividad de la suma
a + 0 = b + 0 Existencia del opuesto
a = b (Existencia del neutro aditivo)
l.q.q.d
2) Demostrar : a2 + b2 + c2 ab + ac + bc , a,b,c IR
(a-b)2 > 0 => a2 – 2ab + b2 0 => a2 + b2 2ab
(a-c)2 0 => a2 – 2ac + c2 0 => a2 + c2 2ac
(b-c)2 0 => b2 – 2ac + c2 0 => b2 + c2 2bc
2a2 + 2b2 + 2c2 2ab+2ac+2bc/2
a2 + b2 + c2 ab + ac + bc.
l.q.q.d.
PRACTICA
1) Demostrar : a2 + b2 + c2 ab + ac + bc. a, b, c IR
2) Demostrar : a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1 => ac + bd 1
3) Demostrar : (a+b) (b+c) (a+c) 8 abc
Siendo a, b y c números positivos todos distintos.
4) Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:
INECUACIONES
Son ecuaciones que en lugar de un signo de igualdad, posee signos de desigualdad.
El procedimiento de resolución de inecuaciones, en general sigue los mismos pasos de las ecuaciones, la solución de una inecuación es uno o varios intervalos de números reales.
Las inecuaciones se clasifican en:
a) Inecuaciones lineales.
b) Inecuaciones cuadráticas, y grado mayor.
a) INECUACIONES LINEALES
Son aquellas que poseen incógnitas lineales (de grado 1). Para resolver inecuaciones lineales, se aplican reglas equivalentes
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