PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

INTRODUCCION

En este tema hablaremos acerca de las Propiedades de los Números Reales. Se divide en cuatro propiedades, que son, Tricotomía, Transitividad, Densidad y Axioma del Supremo. Se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

; ;

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.

La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de .

Se define axioma del supremo o axioma de completitud a uno de los axiomas que componen el cuerpo de los números reales. Su definición es la siguiente:

Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en .

TRICONOMIA

LEY DE TRICOTOMIA

En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si y pertenecen a , entonces se puede decir si la afirmación es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada y en se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones

; ;

Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.

Nótese que una consecuencia inmediata de esta ley, es que si , entonces es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real tal que .

INTERPRETACION

Si imagináramos que es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al "medio" el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación , es que está a la izquierda de . Esta manera de visualizar es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.

Por ejemplo

Si y , entonces

La interpretación geométrica de esta propiedad llamada Transitividad, dice que si es un número real que está a la izquierda de , y está a su vez a la izquierda de , entonces está a la izquierda de .

Se dijo al principio que "en particular" esta propiedad se cumplía en los reales. Esto es porque en general puede representar la cardinalidad de conjuntos (con números), siendo uno de menor o igual cardinalidad que otro

La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:

a<b, a=b, a>b.

Para cualquier relación de equivalencia R encendido conjunto A, la relación es tricótoma si para todo el x y y en A exactamente una de asimientos.

xRy, x=y, yRx

Una relación tricótoma no es simétrica, no es reflexivo, sino es transitiva.

Propiedades de relaciones tricótomas

Propiedad Ecuación Descripción

Propiedad simétrica xRx es siempre falso. Una relación tricótoma no es simétrica. Por ejemplo, la declaración 3<3 es siempre falso.

Propiedad reflexiva Si xRy entonces no yRx Una relación tricótoma no es reflexiva. Por ejemplo, 3<4 ⇒ 4≮3.

Propiedad transitiva Si xRy y xRz entonces xRz Una relación tricótoma es típicamente transitiva. Por ejemplo, 3<4, 4<5 ⇒ 3<5.

TRANSITIVA

RELACION TRANSITIVA

Una relación binaria R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R, esta relación es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como transitividad.

REPRESENTACION

Una relación binaria se puede representar como pares ordenados, mediante una matriz de adyacencia o mediante un grafo. Para el caso de una relación transitiva, cada una de estas representaciones tiene características especiales:

 Como pares ordenados,

 Como matriz de adyacencia M, la matriz es tal que

 Como grafo, cada vez que desde un nodo v1 se pueda llegar a otro v3, pasando primero por un nodo intermedio v2, entonces también existirá la arista (v1,v3).

EJEMPLO:

Así por ejemplo dado el conjunto N de los números naturales y la relación binaria "menor o igual que" vemos

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