Teorema De Green Y De Stokes

Dedicatoria:

Este trabajo lo dedicamos a nuestros padres que nos brindan apoyo incondicional y a nuestro profesor quien nos proporciona y nos da su ejemplo profesional nos ayuda a nuestro desarrollo como futuros ingenieros.

INDICE

INTRODUCCION 4

OBJETIVOS 5

NOCIONES PREVIAS 6

CAPITULOS 7

Capitulo I. George Green 8

Capitulo II. Teorema de Green 11

Capitulo III.Sir George Gabriel Stokes 25

Capitulo IV. Teorema de Stokes 32

Capitulo V. Ejercicios resueltos del teorema de

Green y el teorema de Stokes 39

CONCLUSIONES 68

RECOMENDACIONES 69

BIBLIOGRAFIA 70

ANEXOS 71

INTRODUCCION

En este trabajo daremos a conocer el teorema de Stokes que en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson.

Como seguramente se estará sospechando, ahora la pregunta es: ¿el Teorema de Green se puede “extender” al cálculo de integrales sobre conjuntos dos-dimensionales no necesariamente planos, es decir, superficie? La respuesta es que sí y eso es justo de lo que trata el Teorema de Stokes.

Para el Teorema de Stokes, es mejor deducirlo a partir de la interpretación física y geométrica de los conceptos que involucra, que en este caso son el de integral de superficie y el del rotacional de un campo. Como en el caso de los teoremas que hemos mencionado, el Teorema de Stokes trata de cómo calcular la integral sobre una superficie S de un cierto tipo de “derivada” de una función F de 〖 R〗^3 en R , el rotacional de F (RotF), es decir, trata de : ∫s RotF dσ

También veremos el teorema de Green (1793-1814) que es un caso particular del teorema de Stokes en el cual establece la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada C y una integral doble sobre una región plana D, acotada por C.

Por otro parte, la relación así establecida entre la integral de la línea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta, permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta función sobre la frontera de dicho recinto.

OBJETIVO

OBJETIVO GENERAL

Estudiar con profundidad, analizar e interpretar el teorema de Green y Stokes.

OBJETIVOS ESPECÌFICOS

Demostrar el teorema de Green y el teorema de Stokes.

Conocer más sobre los autores de estos teoremas a través de su biografía.

Resolver ejercicios donde se apliquen estos teoremas.

NOCIONES PREVIAS

CURVA CERRADA Y SIMPLE

Sea C una curva suave definida por una función vectorial: [a, b] ,

Se dice que es cerrada si: (a)= (b)

Si además es uno a uno en [a, b), C es

R 2,),cerrada y simple.

UNA CURVA CERRADA QUE NO ES SIMPLE

C es cerrada si: (a)= (b)

No es uno a uno en [a, b), C se corta

asi misma, C no es simple.

UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA

POSITIVA ( Sentido contrario a las agujas del reloj)

UNA CURVA CERRADA Y SIMPLE ORIENTADA

NEGATIVA (Sentido Horario)

CAPITULOS

CAPITULO I. GEORGE GREEN

George Green (14 de julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un científico autodidacta. Vivió la mayor parte de su vida en Sneinton, Nottinghamshire, actualmente parte de la ciudad de Nottingham. Su padre, también llamado George, era un panadero que poseía un molino de viento para preparar la harina. El joven George Green solo asistió de forma regular a la escuela durante un año entre los 8 y 9 años ayudando a su padre posteriormente.

Al ser Nottingham un pueblo pobre en recursos intelectuales, no se ha podido dilucidar por parte de los historiadores de donde obtenía Green la información necesaria para su desarrollo en matemáticas. Solo se conoce una persona que haya vivido en Nottingham durante esa época, con los suficientes conocimientos matemáticos: John Toplis. Cuando Green publicó su ensayo en 1828, fue vendido como una suscripción a 51 personas, la mayoría de las cuales eran probablemente amigos y sin ninguna idea de sobre matemáticas.

El acaudalado terrateniente y matemático Edward Bromhead compró una copia y animó a Green a ir más lejos en su trabajo matemático. Sin embargo, Green no confió en su mentor y no volvió a contactar con él durante dos años.

Luego de esos dos años, Bromhead realizó las gestiones para que Green ingresara a la Universidad de Cambridge. Green ingresó como estudiante a la edad de 40 años. Su carrera académica fue excelente, y tras de su graduación en 1837 permaneció en la facultad, en la Escuela Gonville y Caius. Escribió sobre óptica, acústica e

hidrodinámica, y a pesar que sus escritos posteriores no tuvieron la relevancia de su Ensayo, de igual manera fueron muy reputados. Los trabajos de Green sobre el movimiento de las olas en un canal anticipa la aproximación WKB de mecánica cuántica, mientras que su investigación sobre ondas lumínicas y de las propiedades del Éter producían lo que hoy es conocido como las Medidas de deformación de rotación independiente.

George Green fue un matemático británico cuyo trabajo influenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en física. Entre sus obras más famosas se cita: "Un análisis de las aplicaciones del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema de Green.

En 1839 fue electo miembro de la junta directiva de la escuela; de todas maneras, disfrutaría los privilegios del cargo por un corto tiempo: en 1840 cae enfermo y regresa a Nottingham, donde muere un año después.

El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática

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