Numeros Reales

INTRODUCCION

Aquí les hablaremos acerca de la Unidad I que se llama Los números Reales y que tiene diversos subtemas.

Veremos que de los números reales hay diversos temas de ellos como lo es la recta numérica, los números reales, las propiedades de los números y axioma del supremo pero también de las propiedades de los números hay subtemas que son: tricotomía, transitividad, densidad y axioma del supremo.

INDICE

Introducción…………………………………………………….. 2

Índice……………………………………………………………. 3

1.1 La Recta Numérica……………………………………… 4

1.2 Los Números Reales……………………………………. 5

1.3 Propiedades de los Números Reales………………….7

1.3.1 Tricotomía……………………………………………. 7

1.3.2 Transitividad…………………………………………. 8

1.3.3 Densidad……………………………………………… 9

1.3.4 Axioma Del Supremo………………………………..10

1.4 Intervalos y su representación mediante

desigualdades…………..…………………………………… 11

Conclusión………………………………………………………13

Bibliografía………………………………………………………14

1.1 RECTA NUMÉRICA

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica. Aunque la imagen de arriba muestra solamente los números enteros entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando «ilimitadamente» en cada sentido.

Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en morado.

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

1.2 NÚMERO REAL

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.1 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1) Propiedad Conmutativa: a+b = b+a Sean a,b pertenecientes a los reales.

2) Propiedad Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

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