Los modelos matematicos en la investigacion de operaciones IO

LOS MODELOS MATEMATICOS EN LA INVESTIGACION DE OPERACIONES IO

En términos sencillos es un grupo de ecuaciones o inecuaciones que representan una realidad. El ingrediente principal en un modelo matemático, como es de esperarse, es la variable. Las variables, son la representación de las diferentes posibilidades de un conjunto de datos; y estos datos en su origen pueden ser de tipo determinanticos o estocásticos.

Modelo Determinista: Es en el que las variables que lo forman, son de carácter conocido, es decir, que no depende del azar.

Modelo Estocástico: Lo contrario. Aquellos modelos, cuyas variables son de naturaleza probabilística, es decir que dependen de un nivel de incertidumbre; del azar. Por lo tanto, normalmente estas variables representan es una función de probabilidad.

Nota: muchas veces en la práctica, algo que parece probabilística, o del azar, realmente corresponde a algo que se deja como caja negra por el sin número de variables que la componen, por la dificultad de su medición, etc. Si se es consciente de esto, si esto es totalmente claro, se tendrá el primer paso en firme, y como se puede observar en el gráfico de eso depende todo. Prácticamente es una decisión del modelador: Por ejemplo, para el tiempo de proceso de una operación, puede tomar el promedio del tiempo como un valor determinantico y usar un programa matemático de optimización o puede analizar esta variable para determinar la función de densidad de probabilidad, con un promedio, un valor de desviación estándar y tal vez usar simulación.

Modelo Lineal: Son aquellos modelos dónde todos los grados de sus términos son iguales a 1, y en cada término sólo hay una variable.

Modelo No Lineal: Son aquellos modelos dónde algún termino tiene un grado mayor que uno. O algún término tiene más de una variable.

Modelos Continuos: Dónde sus variables son densas. O sea, que dentro de dos valores arbitrarios [a,b] hay infinitos valores. Ejemplo: 1, 1.1, 1.12, 1.13... etc.

Modelos Enteros o Discretos: Pues eso. Son modelos, dónde sus variables sólo pueden tomar valores enteros. Por ejemplo, si una variable representa el número de personas que se necesita para cierta tarea, sólo los valores enteros tienen sentido, ej: 2 personas, 3 personas, pero tal vez, 2.5 personas, no tenga mucho sentido.

Nota: A pesar de lo que pueda parecer al principio, los modelos enteros, son por mucho, más difíciles de resolver que los problemas o modelos continuos. Requieren muchísimo más recursos de máquina para resolver que los problemas continuos.

Modelos Binarios: Son los modelos que sólo pueden tomar los valores de cero o uno. Son un caso especial de los modelos enteros. Estos modelos, son muy útiles para analizar variables de decisión tipo Si/No. Y, estos modelos pueden ser particularmente útiles, en la asignación de recursos.

2.- Ilustre con un ejemplo cada modelo

Un fabricante de dos productos A y B dispone de 6 unidades de material y 28 Horas para su ensamblaje, el modelo A requiere 2 unidades de material y 7 horas de ensamblaje, el modelo B requiere una unidad de material y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son $120 y $80 respectivamente. ¿Cuantos productos de cada modelo debe fabricar para maximizar su ingreso?

Sea x1 y x2 la cantidad de productos a producir de A y B

El objetivo se Expresa Como:

Maximizar z = 120x1 + 80x2

El fabricante está sujeto a dos restricciones:

De Material: 2x1 + x2 6

De Horas: 7x1 + 8x2 28

De no negatividad x1 0 y x2 0

Además no se venden productos no terminados por lo tanto las variables x1 y x2 deben ser enteras.

Programación no lineal

En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma:

Optimizar z = f(x)

Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-¥,¥ ). Si la búsqueda se circunscribe a un sub intervalo finito [a,b] el problema es de optimización no lineal restringida y se transforma a

Optimizar z = f(x)

Con la condición a x b.

Optimización no lineal multivariable

Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir:

Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, ..., xn]T

Si existen las restricciones

Gi(X) =

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