Laboratorio de dinámica de maquinaria

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

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Laboratorio de

dinámica de maquinaria

Grupo 11

Práctica 3 - “Momentos de Inercia”

Cos Díaz Jorge Jayr

González Hernández Omar

Fecha de entrega: 9 de marzo del 2018

Objetivos

• Obtener el momento de inercia para placas planas de área irregular utilizando el péndulo compuesto.
• Realizar la comprobación teórica calculando los momentos de inercia de áreas compuestas con respecto a los ejes coordenados.

Introducción

Todos los cuerpos sólidos tienen tamaño y forma definidos, por lo que es posible para un par de fuerzas que actuen sobre el en ejes diferentes hacer que el cuerpo se traslade y rote.

Para la traslación, estas fuerzas provocan un cambio en la cantidad de movimiento como bien lo explica la segunda ley de Newton, sin embargo, también es posible aplicar esta ley al movimiento rotacional de cuerpos.

De forma análoga a

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donde m es la masa del cuerpo, o bien, la inercia lineal, en el movimiento rotatorio producido por un par de fuerzas se tiene

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donde I es el momento de inercia y  la aceleración angular.[pic 4]

El momento de inercia se puede definir como la oposición o resistencia a girar alrededor de un eje que presenta un cuerpo, o de forma más general, la ressitencia a cambiar su estado de giro. Por ejemplo, un volante del motor de un tractor genera un momento grande de inercia con respecto a su eje de rotación. Una vez que se ponga en movimiento, será dificil detenerlo, lo cuál evitará que el motor se pare y por lo tanto le permitirá mantener una potencia constante.

Este momento, sin embargo, depende enteramente del eje con respecto el cual esté girando el cuerpo y, por supuesto, de la geometría del mismo, pues esta definirá que tan sencillo o dificil es hacerlo girar con respecto a dicho eje.

Desarrollo

Se utilizan dos placas planas con diferentes geometrías, mostradas en las figuras siguientes.[pic 5]

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[pic 7][pic 8]

Debido a la compleja geometría de las placas, estas se dividen en secciones con geometrías más simples, enumeradas como se indica en las figuras 1 y 2.

Modelo matemático

Las coordenadas del centro geométrico de una figura es  donde:[pic 9]

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El momento de inercia de área se define como:

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Donde el radio de giro es r. Ahora bien, teniendo en cuenta la siguiente imagen se pueden determinar los momentos de área de una superficie respecto a los ejes de un sistema de referencia.

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Puesto que se busca encontrar el momento de inercia perpendicular a la superficie en el centro geométrico de la misma, se requiere usar el teorema de ejes paralelos debido a la ubicación del sistema de referencia. El cuál se define como:

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Donde:

 Momento de Inercia respecto al eje de giro.[pic 18]

 Momento de Inercia respecto al centro geométrico.[pic 19]

 Radio de giro.[pic 20]

 Área de la superficie.[pic 21]

Adecuando el modelo matemático anterior al caso partícular de la práctica se obtiene la siguiente ecuación para calcular el momento de inercia de área en el centro geométrico de una superficie.

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Por último el momento de inercia de masa depende del momento de inercia de área:

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Para saber experimentalmente el valor del momento de inercia de masa se debe uno de apoyar en el siguiente modelo:

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Donde  es ña velocidad angular de la placa.[pic 25]

Desarrollando la suma de moemento de arriba y manejando ángulos menores a 10° () resulta el modelo matemático que representa al movimiento armónico simple, en donde la frecuencia circular  se puede relacionar con el momento de inercia respecto al eje z de la figura:[pic 26][pic 27]

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Finalmente, usando el teorema de ejes paralelos nuevamente el moemento de inercia de masa es:

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Cálculos

Los siguientes cálculos son para la placa 1, mostrada en la figura 1.

Se calculan los momentos de inercia de área para la sección 1, rectángulo:

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Se calculan los momentos de inercia para la sección 2, medio circulo:

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Se calculan los momentos de inercia para la sección 3, triángulo:

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Estos momentos de inercia área, sin embargo, están referidos con respecto al centro geométrico de la sección, por lo que hay que desplazarlos centro geométrico de la placa completa utilizando el teorema de ejes paralelos.

Para el rectángulo:

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Sustituyendo el momento de inercia previamente calculado y los valores obtenidos en la práctica anterior, los cuales se presentan en la tabla 2, se obtiene:

[pic 50]

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Para las secciones dos y tres se tiene:

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Por lo tanto

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Finalmente, el momento de inercia de masa para la placa 1 es:

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Sustituyendo los valores calculados y los obtenidos previamente (Tabla 1), si m=167.9[g], se tiene:

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[pic 62]

...