Cálculo - Funciones

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

[pic 1]

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

[pic 2]

Tipos de Discontinuidad

Cuando una función es discontinua en un punto, se pueden producir tres tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad evitable
• Discontinuidad inevitable
• Discontinuidad esencial

Discontinuidad evitable

Una función f tiene una discontinuidad evitable en a si se cumplen las dos condiciones siguientes:

[pic 3]

Existe el límite en a y éste es finito

[pic 4]

La imagen de a no existe o si existe no coincide con su límite.

[pic 5]

Se dice que la discontinuidad es evitable porque se podría evitar definiendo la imagen de a como el valor de su límite en este punto.

Ejemplo de función evitable

Sea la función f definida como:

[pic 6]

Estudiar la discontinuidad en el punto x=2 y ver si dicha discontinuidad es evitable.

• El límite en x=2 es igual a 2, siendo finito.

[pic 7]

• En este caso, la imagen existe y es igual a 4.

[pic 8]

Veamos su gráfica:

[pic 9]

Como el límite en x=2 existe y es finito, siendo éste diferente de la imagen f(2), podemos decir que existe una discontinuidad evitable en 2.

Dicha discontinuidad es evitable porque si cambiásemos la imagen en x=2 y la hiciésemos ser 2, la f(2)=2, entonces dicha función f sería continua en 2, evitando la discontinuidad.

Discontinuidad inevitable

Una función f tiene una discontinuidad inevitable en a si los límites laterales existen pero no coinciden, es decir:

[pic 10]

[pic 11]

Se dice que la discontinuidad es inevitable porque no existe ninguna forma de juntar los dos laterales en a al ser distintos.

Definiremos como el salto a la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

[pic 12]

Según si el salto es finito o infinito se clasifica la discontinuidad inevitable en:

• Discontinuidad inevitable de salto finito

El salto que se produce entre límites laterales es un número real finito. También se llama discontinuidad inevitable finita.

[pic 13]

[pic 14]

Ejemplo de discontinuidad inevitable de salto finito:

Tenemos una función f definida como:

[pic 15]

Vamos a estudiar como en x=2 se produce una discontinuidad y ésta es inevitable de salto finito.

[pic 16]

El límite por la izquierda de f en x=2 es 3 y por la derecha es 1. Por lo tanto, los límites laterales son diferentes y se produce una discontinuidad inevitable.

[pic 17]

Veamos que el salto que se produce es finito:

[pic 18]

En efecte, el salto es de 2 unidades, por lo que en x=2 existe una discontinuidad inevitable de salto finito.

• Discontinuidad inevitable de salto infinito

El salto que se produce entre límites laterales es infinito.

[pic 19]

[pic 20]

En este caso, también se llama discontinuidad inevitable infinita.

Ejemplo de discontinuidad inevitable de salto infinito:

Sea la función f definida por:

[pic 21]

Estudiar la continuidad de la función en x=1, y en caso de discontinuidad, clasificarla. Los límites laterales de la función en 1 son:

[pic 22]

El límite lateral por la derecha es 1 y el límite por la izquierda es infinito. Los límites son diferentes y uno de ellos es infinito, por lo que se produce una discontinuidad inevitable de salto infinito en x=1.

[pic 23]

• Discontinuidad esencial

Una función f tiene una discontinuidad esencial en a si no existe un límite lateral o no existen ambos:

[pic 24]

[pic 25]

Por ejemplo, en el gráfico que tenemos arriba, la función tiene una discontinuidad esencial en , al no tener límite lateral por la izquierda en x=1.

Ejemplo de discontinuidad esencial:

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