Capítulo 5 Funciones trigonométricas

Capítulo 5

Funciones trigonométricas

la derivada de sinx es cosx y cosx es - sinx; todo lo demás se deriva de ello.

Muchos problemas que involucran ángulos, círculos y movimiento periódico trigono- métricas conducen a funciones. En este capítulo, estudiamos el cálculo de esas funciones, y aplicamos nuestros conocimientos para resolver nuevos problemas.

El capítulo comienza con una revisión de la trigonometría. Estudiantes bien preparados pueden hojear este material y pasar rápidamente a la segunda sección. Los estudiantes que no se sienten preparados o que no C Quiz orientación al principio del libro debería estudiar este examen material cuidadosamente.

5.1 Coordenadas polares y

trigonométricas

Funciones trigonométricas proporcionan el vínculo entre las coordenadas cartesianas y polares.

21ir Esta sección contiene una revisión de la trigonometría, con énfasis en los temas que son más importantes para el cálculo. Los derivados de las funciones trigonométricas se calculará de la siguiente sección.

La circunferencia c y el área de un círculo de radio r está dada por

C = 2NR, A = nr2

Figura 5.1.1. (Ver Fig. donde n es un número irracional, cuyo valor es de aproximadamente

3,14159 la circunferencia y el área

de un círculo.

5.1.1),

. . . .'

' Para obtener detalles sobre la fascinante historia de una, véase P. Beckman, una historia ofa, Golem Press, 1970.

Para establecer las propiedades de una más profunda como su irracionalidad (descubierto por Lambert y Legendre alrededor de 1780), un cuidadoso y un examen crítico de la definición de se necesita. La primera expresión explícita para m fue dado por vieta (1540-1603) como

que está inscribiendo polígonos regulares en un círculo. La famosa expresión de Euler m/4 = 1 obtenido por

- + - . . . Es discutido en el ejemplo 3, Sección 12.5. Para una prueba elemental de la irracionalidad de M, véase M. Spivak, Cálculo, Benjamin, 1967.

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252 Capítulo 5 Las funciones trigonométricas

si dos rayos se dibuja desde el centro del círculo, la longitud y el área de la parte del círculo entre los radios son proporcionales al ángulo entre los radios. Por lo tanto, si queremos medir los ángulos en grados, la longitud de C, y la zona A, entre radios formando un ángulo (vea la Fig. 8. 5.1.2) están determinados por las relaciones

Figura 5.1.2. La longitud CH desde un círculo completo corresponde a un ángulo de 360 grados.

y la zona A. son estas fórmulas se vuelven más sencillas si adoptamos el radián unidad de medida, en

proporcional a 0. que el total de la medida angular de un círculo se define como 277. Entonces nuestras fórmulas anteriores se convierten en

C, - 8 - 8 (en radianes)

27~r 277 VR2 ' 277 '

o simplemente

las fórmulas de cálculo son también más sencilla cuando los ángulos se miden en radianes en lugar de grados. Salvo que expresamente se hace mención de grados, todos los ángulos en este libro será expresado en radianes. Si usar una calculadora para hacer computa- dores con ángulos medidos en radianes, asegúrese de que está operando en el modo Radian.

Ejemplo 1 Un arco de 10 metros de longitud en un círculo de un radio de 4 metros lo que subtiende el ángulo al centro del círculo? Wow mucho área está encerrado en esta parte del círculo?

Solución en la fórmula C = YO, = 4, por lo que 8 = 9 = 2: (radianes).

El área encerrada es una,

tenemos C = 10 y r

= + r28 = + . 16 . 5 = 20 metros cuadrados. Un

57.296 grados por radian. % De conversiones entre grados y radianes se obtiene multiplicando o dividiendo por el factor 360/2/~~ = 180

grados y radianes

57" 18" = 57.296". % Para convertir radianes a grados, multiplique por 7

para convertir de grados a radianes, multiplique por 57 - 1800 = 0.01745.

La siguiente tabla proporciona algunos importantes ángulos en grados y radianes:

grados de 0" a 30" 45" 60" 90" 120 150 135""""" 360 180 270"

las medidas de ángulos rectos y ángulos rectos se muestran en la Fig. 5.1.3.

Figura 5.1.3. Un círculo completo, ángulo recto y ángulo recto en grados y radianes.

5.1 Coordenadas polares y trigonometría 253

números negativos y los números mayores que representan ángulos. La convención

es que hacer 8 8 + 471, 8 ángulo geométrica; de ahí para 8 - 477, . . . (Ver Fig. 2). 5.1.4). El ángulo - 8

271 (o 360") también puede ser utilizado y 8 + 277 representan el mismo + 677, . . . Así como 8 - 277,

equivale a 271 - 8 y, por lo tanto, es la de 8 (ver Fig. 2). 5.1.5). Nota, también, que rayos hacer ángulos de B "imagen de espejo" y 6 + 77 con un determinado punto de rayos en sentidos opuestos a lo largo de la misma línea recta (ver Fig. 2). 5.1.6).

5.1.4. 8, 8 - 271, y la figura

8 + 2x7 medir el mismo ángulo geométrico.

Figura 5.1.5. El ángulo Figura 5.1.6. Los rayos

- 8, o 271 - 8, es el espejo de 8.

Hacer ángulos de 8 y

8 + 71 con OP apuntan en direcciones opuestas.

Ejemplo 2 (un) convierte a radianes: 36", 160°, 280°, -300°, 460"

(b) convertir en grados: 571/18, 2.6, 6.27, 0.2, -9.23.

Solución (a) 36" + 36 x = 0.6282 0.01745 radianes;

160" + 160 x 2.792 = 0.01745 radianes;

280" + 280 x 4.886 = 0.01745 radianes;

Figura 5.1.7. Las coordenadas polares (r, b )de un punto

- 300" + - 300 - 5.235 x = 0.01745 radianes o

- 300 x/180 = - 5a/3 radianes;

460" + 460' - 360' = 100" + I00 745 = 1.745 x 0.01 radianes.

(B) 5a/18+5~/18 x 180/n = 50"; 2.6 + 2.6 x 57.296 = 148.97"; 6.27 --+ 6.27 X 57.296 = 359.25"; 0.2 --+ 0.2 x 57.296 = 11.46".

-+ -9.23 -9.23 x 180/a = - 528.84" -+720° = 191.16 - 528.84''. Una de

las coordenadas cartesianas (x, y) representan los puntos en el plano por sus distancias desde dos líneas perpendiculares. En la representación de coordenadas polares, un punto P

está asociado con cada par (r,8) de los números de la siguiente manera.2 En primer lugar, un rayo que pasa por el origen de 8 formando un ángulo con el eje x positivo.

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