Geometría Analítica. Como se gráfica

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Introducción a la geometría analítica: La geometría y el álgebra son ramas de la matemática que se fueron desarrollando de forma independiente hasta el siglo XVll, cuando el matemático y filósofo Rene Descartes escribió una obra en la que incluía un tema sobre geometría, en donde establece una relación entre esta rama de la matemática con el álgebra, al elaborar el método de las coordenadas como una forma de localizar cualquier punto en un plano. La idea básica de la geometría analítica consiste en sustituir problemas de índole geométrica por otros de carácter algebraico, lo cual se logra mediante el empleo de ciertos recursos denominados sistemas de coordenadas.

Sistema de coordenadas cartesianas: El punto de partida de la geometría analítica son los llamados sistemas de coordenadas cartesianas, mediante los cuales pueden ser resueltos, una gran variedad de problemas de geometría, empleando recursos del algebra.

Como se gráfica:

Formula de la distancia entre dos puntos: d= Que es la fórmula que permite hallar la distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas. Para lograr este objetivo restamos las abscisas y elevamos la diferencia al cuadrado, hacemos lo mismo con las ordenadas, sumamos los dos cuadrados obtenidos y hallamos la raíz cuadrada de la suma.[pic 1]

Punto medio de un segmento de recta: x=      y=   De manera que si tienes las ordenas de los extremos de un segmento y necesitas hallar las del punto medio, suma las abscisas y divides la suma por dos; haces exactamente lo mismo con las ordenas, y eso es todo.[pic 2][pic 3]

Angulo o inclinación de la recta. Pendiente de una recta: m=   La pendiente buscada resulta ser el cociente que tiene por numerador la diferencia de ordenadas y por denominador la diferencia de abscisas en el mismo orden. [pic 4]

Ecuación de la recta en el plano: Las distintas formas como se puede expresar la ecuación de una recta son:

1. Ecuación en la forma punto-pendiente: Supongamos que en el punto P (x,y) es un punto no conocido cualquiera de una recta de pendiente m y que pasa por un punto conocido ; entonces, de acuerdo con la definición de la pendiente tenemos que:  Si multiplicamos ambos mientras de la ecuación anterior por , resulta: ; luego  o también .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
2. Ecuación de la recta en la forma pendiente-intersección: Si una recta pendiente m corta al eje y en el punto P (0, b) tenemos que

  donde  y =/ 0, por consiguiente; y-b=m(x-0)[pic 11][pic 12][pic 13]

b=mx, luego y=mx+b.[pic 14]

1. Ecuación de la recta en la forma general: la ecuación de la forma Ax+By+C=0 se llama ecuación general de la recta, en donde A, B y C son números reales, y en donde Ay B no pueden ser nulos (iguales a cero) simultáneamente. Esta ecuación puede determinar todas las rectas posibles sin excepción
2. Ecuación de la recta en la forma simétrica: la ecuación de la recta que corta los ejes coordenados en los puntos (a,0) y (0,b) es:  en donde a es las abscisa en el origen(a= intersección con el eje x), y b es la ordenada en el origen (intersección con el eje y).[pic 15]

Distancia de un punto a una recta: Sea r una recta y  un punto que no pertenece a r. la distancia de  a r se define así: llamaremos r’ a la recta que pasa por y es perpendicular a r. entonces r’ corta r en un punto I. la distancia de  a r es, por definición, la longitud del segmento I. [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

...