Introduccion historia de la Topología

Un poco de historia

A mediados del siglo XIX comenzó un desarrollo completamente nuevo en geometría que pronto se convertiría en una de las grandes fuerzas de las matemáticas modernas. La nueva rama, llamada analysis situs (“análisis de la posición”) o topología, tiene como objeto de estudio las propiedades de las figuras geométricas que permanecen invariantes al someterlas a deformaciones continuas, por lo que también es conocida como geometría de la lámina elástica. Se puede decir que el origen de esta nueva rama se dio a partir del siguiente problema:

Los  puentes de Königsberg. En Königsberg se juntan dos ríos, formando una isla en su confluencia. Siete puentes unían  las diferentes partes de la ciudad. En el siglo XVIII se hizo popular, como adivinanza, averiguar si es posible cruzar los siete puentes de la ciudad pasando sólo una vez por cada uno de ellos. Repetidas pruebas llevaron a la conclusión de que esto era imposible, pero no había una demostración matemática que fundamente esto.

[pic 1]

Al darse por vencidos los matemáticos locales frente a la resolución general del problema, éste fue propuesto al matemático más famoso de la época, el suizo Leonhard Euler, quien lo resolvió y  presentó la solución del problema de los puentes de Königsberg ante la Academia Rusa de San Petersburgo en el año 1735. Y así quedó fundada la Topología o Analysis Situs. [pic 2]

Euler demostró que el viaje por los siete puentes, tal como lo plantea el problema, era imposible. Éste simplificó el problema reemplazando la tierra por puntos y los puentes por líneas que unían esos puntos.

Entonces, ¿puede dibujarse la siguiente figura con un solo trazo continuo sin levantar el lápiz del papel?

[pic 3]

El gráfico resultante es una figura cuyas líneas o curvas, conectan puntos o vértices. Un vértice es par o impar, según sea par o impar la cantidad de líneas o curvas que concurran a él. En este caso a cada vértice llega una cantidad impar de líneas.

Euler dijo que el problema no tiene solución. Solamente podría haber una solución si los vértices están conectados con una cantidad par de márgenes, ya que ello permitiría entrar y salir a cada uno de ellos. Como máximo, dos vértices pueden estar conectados por un número impar de márgenes, y éstos serían el del comienzo y el del final de la trayectoria.

Al abordar el problema de los siete puentes, Euler hizo mucho más que resolver un simple problema, reconoció que existen ciertas propiedades fundamentales de las figuras geométricas que no dependen del tamaño o la forma. Estas propiedades son funciones únicamente de la posición general de las líneas y puntos de una figura. El estudio de estas propiedades que no son afectadas cuando se “deforma” la figura, es lo que constituye la Topología. La Topología es una geometría del lugar, de la posición y que se distingue de las geometrías métricas de Euclides, Lobachevsky, Riemann, que  tratan de magnitudes y ángulos.

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