MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

[pic 3]

Al multiplicar polinomios operamos con factores. Obteniendo como resultado otro polinomio llamado producto.[pic 4][pic 5]

[pic 6][pic 7][pic 8]

(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 8[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

        Si operamos en sentido contrario, tendremos que:

        A partir del polinomio producto, hallamos la multiplicación indicada de factores; a este procedimiento le llamamos factorización de un polinomio es decir:[pic 16]

x3 + 8  =  (x + 2) (x2 – 2x + 4)[pic 17][pic 18]

[pic 19][pic 20]

[pic 21]

        Estos factores deben ser factores primos.

FACTOR PRIMO

        Es aquel polinomio de grado diferente de cero, que es divisible por si mismo y por la unidad.

[pic 22]

Ejemplo:

x + 1        :        1, x + 1[pic 23]

x – 2        :        1, x – 2[pic 24]

x2 + 1        :        1, x2 + 1

MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN[pic 25]

• MÉTODO DEL FACTOR COMÚN

        Este método consiste en aplicar en sentido contrario la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.[pic 26]

        Es decir, si esta propiedad se expresa así:

a(b + c) = ab + ac

        En sentido contrario tendríamos:

ab + ac = a(b + c)

        Donde a recibe el nombre de Factor Común.

1. FACTOR COMÚN MONOMIO

                En este caso, todos los términos del polinomio dado tienen un factor común con las características de un monomio.[pic 27]

Ejemplo:

Factorizar:

• ax + bx + cx

x es un factor común a todos los términos entonces:

ax + bx + cx = x(a + b + c)[pic 28]

[pic 29][pic 30]

Ejemplo:

Factorizar:

• x6y3 – x4y5 + x2y7

El factor común es x2y3 es decir la letra x e y con su menor exponente:

x6y3 – x4y5 + x2y7 = x2y3(                           )

¿Qué se escribe dentro del paréntesis?

        Para esto dividimos cada término del polinomio original entre el factor común x2y3 con lo cual la expresión factorizada será:

x6y3 – x4y5 + x2y7 = x2y3(x4 – x2y2 + y4)

[pic 31]

Ejemplo:

Factorizar:

• xn+3 + xn+2 + 2xn+1

El factor común es xn+1 +

xn+3 + xn+2 + 2xn+1

= xn+1(x2 + x + 2)

1. FACTOR COMÚN POLINOMIO

        Al extraer este factor común, procedemos en la misma forma que el factor común monomio, cuidando que el polinomio común este dentro de un signo de colección. (Paréntesis, llave, corchete).

Ejemplo:

Factorizar:

• (x + y)a + (x + y)b – 2(x + y)

(x + y) esta como factor en cada uno de los términos luego:

(x + y)a + (x + y)b – 2(x + y)

= (x + y)(a + b - 2)

Factorizar:

• a(x – y - z) – b(-x + y + z)

Aparentemente no hay factor común pero; si factorizamos el signo a

–x + y + z = -(x – y - z) entonces:

a(x – y - z) – b [-(x – y - z)]

a(x – y - z) + b(x – y - z)

(x – y - z) (a + b)

Factorizar:

• a2xn+2(b + c)2 + a3xn+1(b + c)3

a2xn+1(b + c)2 esta como factor común:

= a2xn+1(b + c)2 [x + a(b + c)]

= a2xn+1(b + c)2 [x + ab + ac]

[pic 32]

Factorizar:

1. ax + bx
2. x2a + x2b
3. a2x + ay
4. a2 + a
5. x2y – y – zy
6. 7abc – 35abc2
7. 2a4b – 4ab4 – 6a4b4
8. 5a4b4 + 25a8b3 – 30a9b4
9. (m + n - 1)x2 + (m + n - 1)x – (m + n - 1)
10. (a2 + b2)3a + (a2 + b2)5c + (a2 + b2)2
11. (m2 + n)(x - y) – (m2 + n)(2x + 5y)
12. (x + y)3 – (x + y)4z
13. (x + y)(a + b) + (x + y)(m + n)
14. (x + y + z + w)a5 – (x + y + z + w)(b + c)
15. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1)

[pic 33]

DESAFÍO PANAMERICANO

• Factorizar:

1. m3y + m3t
2. a3x – a2y
3. a3 + a2 + a
4. a2b + b
5. x2 + 2x
6. 6m2n – mn2
7. 5xyz3 – 3xy3z + 2x3yz[pic 34]
8. 6a8 + 12a6 – 18a4 + 24a2
9. (a + b)m2 + (a + b)n
10. (x + y)a3  + (x + y)b2
11. (a + 2b)x4 + (2b + a)y3
12. (m2 + n2)x2 + (m2 + n2)y2
13. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1)
14. (x4 - t)3y2 – (x4 – t)(y - 1) + (x4 - t)(y - 2)
15. (y2 + y + 7)2c2 – (y2 + y + 7)(c - 3) + y2 + y + 7

[pic 35]

• Factorizar:

1.    m3y + m3t

1. a3 + a2 + a

1. x2 + 2x

1. 6m2n – mn2

1. 2a4b – 4ab4 – 6a4b4

1. am2 + bm2 + an2 + bn2

1. x2m2 + x2t2 + y2m2 + y2t2

1. w2x5 + 3w2 – t3x5 – 3t3

1. 5a2x + 3a2y – 5b3x – 3b3y

1. (a + b + 1)2 – (a + b + 1)(x - 2) + (a + b + 1)

...