Método de Routh-Hurvitz

Análisis de estabilidad de sistemas

Definición de estabilidad.

Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cual fuese su estado inicial. La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador. Normalmente, la inestabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo independientemente de la entrada. Es un problema del sistema. Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y (s) en fracciones parciales. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación característica (1+ Gc  Gp  Gf  Gm = 0) la ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación.

 Método de  Routh-Hurvitz

El método de Routh-Hurvitz permite comprobar de una manera rápida y sencilla si alguna de las partes reales de las raíces de la ecuación característica es positiva sin necesidad de tener que encontrar las raíces.

Operando la ecuación característica se obtiene:

[pic 1]

 donde a0 debe ser positivo.

El criterio de estabilidad de Routh-Hurvitz es:

1. Condición necesaria pero no para que el sistema sea estable. Si alguno de los coeficientes es negativo, al menos una de las raíces tendrá la parte real positiva.
2. Condición necesaria y suficiente; se construye la matriz de Routh:

[pic 2]

1   a0      a2      a4     a6

2   a1      a3      a5     a7

       3   A1     A2    A3….

      4    B1     B2     B3….

      5    C1     C2     C3….

  n +1    W1    W2

donde:

A1 =  a1 a2 − a0 a3 , A2 =  a1 a4 − a0 a5 , A3 =  a1 a6 − a0 a7 ,…..

B1 =  A1 a3 − a1 A2 , B2 =  A1 a5 − a1 A3 ,…..

C1 =  B1 A2 − A1 B2 , B2 =  B1 A3 − A1 B3 ,…..

El sistema será estable si todos los términos de la primera columna de la matriz (a0, a1, A1, B1, C1……., W1) son positivos.  Si alguno de estos elementos es negativo el sistema será inestable.  Por cada cambio de signo habrá una raíz con la parte real positiva.

El criterio de estabilidad de Routh presenta algunas limitaciones.  No puede tratar sistemas con retrasos (tiempos muertos) o no lineales.  Sólo da información de si un sistema es estable o inestable, no da información de si un sistema estable está cerca o lejos de la inestabilidad.  Otra limitación es la necesidad de tener que expresar la ecuación característica como un polinomio en s, esto puede ser bastante complicado en sistemas complejos.

Para encontrar qué valores de las constantes del controlador están situadas en el límite  de estabilidad se debe resolver la siguiente ecuación:

W1 s2 + W2 =0

De esta manera se puede determinar un par de raíces de la ecuación característica con la parte real nula, es decir, situadas sobre el eje imaginario.   Lógicamente W1   y W2   dependen de los parámetros del controlador.

  Método del lugar de las raíces

Representando las raíces de la ecuación característica en el plano complejo es posible deducir el comportamiento de un sistema según su posición:

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