Números complejos. Derminación de argumentos

Números complejos:

Sean z1=a1+ib1, z2=a2+ib2 , donde a y b son reales.

z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)

z1*z2=(a1a2-b1b2)+i(a2b1+a1b2)

z1/z2= (a1 a2 +b1b2 +i(a2 b1-a1b2))/(a22 +b22), donde z0[pic 1]

|z1 |= √ (a12+b12)

z1 =|z1|(cos(θ)+isen(θ))

θ=arg(z1), donde –π <θ<π

z1 =|z1|ei θ 

(conjugado de z1 )=a1-ib1 = [pic 2]

=z1[pic 3]

=[pic 4][pic 5]

Re(z1)=[pic 6]

Im(z1)=[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

(ei θ)n=cos(nθ)+isen(nθ)

|z1||z2 |=|z1 z2 |

|z1|+|z2 |≥|z1+z2 |

|Re(z1)| ≤|z1|

|Im(z1)| ≤|z1|

=|z1|2[pic 10]

|z1|=|-z1|

||=|z1|[pic 11]

z-1=1/z1

|z-1|=1/|z1|

|z-1|=[pic 12]

arg(z-1)=[pic 13]

Derminación de argumentos:

En el primer cuadrante. Θ=arctan(y/x)

En el segundo cuadrante. Θ= π +arctan(y/x)

En el tercer cuadrante. Θ= -π +arctan(y/x)

En el cuarto cuadrante. Θ= arctan(y/x)

(respentando signos en x & y)

Raíz de un complejo:

Zn=z                      arg(Z)= Φ

|Z|n=|z|              Φ =(Θ+2k π)/n para k=0,1,2,…,n

Z=|Z|(cos(Φ)+isen(Φ))

z tiene n raíces complejas de grado n

2√(z)=, si b>0[pic 14]

2√(z)=, si b<0[pic 15]

MCD(Maximo común divsor) ó (f,g):

Si d|f y d|g entonces d=(f,g).

Si c|f y c|g entonces c|d

Regla de Horner o Rufin:

Si P(x)/d(x), donde d(x)=(x-c), se puede hacer división sintética.

Multiplicidad:

Todo P(x)=(x-c1) (x-c1) (x-c2)… (x-cn-1) (x-cn), donde ck es complejo y n=grad(P(x)).

Cuando x es igual a ck , P(x)=0.

Algoritmo de la división:

f/g=q1+r1/g,    g/r1=q2+r2/r1, …  , rk-1/rk=qk+1+0, donde rk=(f,g)

Teorema del residuo:

f(x)/(x-c)  +  f(c)=f(x)

Teorema del factor:

f(c)=0 ⬄ (x-c)|f(x)

Cuando ck=cj y kj, la multiplicidad de ck es igual al número de j diferentes de k más uno, es decir P(x)=(x-c1)2(x-c2)3 … (x-cn)5, la multiplicidad de c1, c2 y cn es 2,3 y 5 respectivamente.[pic 16]

Raíz cubica de la forma x3+ax2+bx+c=0

Donde p=b-(a2/3), q=(2a3/27)-(ba/3)+c, k=(q/2)2+(p/3)3, u=, v=(p/-3u), x=u+v-(a/3)[pic 17]

Sistema de polinomios de Starm:

1.f0=f(x), 2.f1=f´(x), 3.f2=-r1(x), …,  fn=cte, 4.rk(x)+qk(x)f1= f0, 5.w(c) es el número de variaciones de signo de la sucesión evaluada en c, 6.El número de variaciones en I=[a,b] es w(a)-w(b)

7. Evaluar en menos infinito, cero y más infinito (c´s) en todo fk, 8. Contar el número de variaciones en cada c´s y aplicar el punto 5, 9. Para obtener un intervalos de c´s más detallado obtener cotas superiores e inferiores, 10. Cota superior=, si an>0 ó , si an<0(considerando         -f(x)=f(x), donde k es el número de coeficientes no negativos antes del primer coeficiente negativo y G es el valor absoluto del máximo coeficiente negativo, 11. Para la cota inferior se considera f(-x) como f(x) y aplicas el paso 10.[pic 18][pic 19]