PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA

PRUEBA DE ENTRADA    –    TEORÍA Y PRÁCTICA    –    BENITES

NÚMEROS COMPLEJOS

El sistema de los números complejos es el conjunto  de todos los pares ordenados de números reales:  y dos operaciones de adición y multiplicación tal que para cualquier dos elementos: [pic 1][pic 2]

 [pic 3]

 [pic 4]

 [pic 5]

Si  , entonces:[pic 6]

•  y se denota por  [pic 7][pic 8]
•  y se denota por  [pic 9][pic 10]

NOTA: Debe observarse que tanto x como y son números reales.

[pic 11]

 [pic 12]

Todo número real se puede escribir como un número complejo.

 [pic 13]

TEOREMAS: El conjunto  con las operaciones de adición y multiplicación definidas, satisfacen las siguientes propiedades:      [pic 14][pic 15]

• LEY DE CLAUSURA          [pic 16][pic 17]
• LEY CONMUTATIVA                         ;    [pic 18][pic 19]
• LEY ASOCIATIVA               ;   [pic 20][pic 21]
•   [pic 22]
• [pic 23]
•  [pic 24]

[pic 25]

• [pic 26]
• [pic 27]
• [pic 28]

NOTA:

     [pic 29]

Inverso o recíproco de  con respecto a la multiplicación. [pic 30]

[pic 31]

       [pic 32][pic 33]

 [pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas:

[pic 38]

[pic 39]

Se puede expresar como producto de dos matrices:

[pic 40]

Usando Método de Gauss o Eliminación Gaussiana:

    [pic 41][pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Si  , entonces:[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Si  y [pic 49][pic 50]

        [pic 51]

DEFINICIÓN:  donde [pic 52][pic 53]

                [pic 54][pic 55][pic 56]

                     [pic 57][pic 58][pic 59]

Si   , entonces el conjugado de  denotado por  , es el siguiente número complejo:    [pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Decimos que dos números complejos son conjugados uno de otro si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales de signo opuesto.

PROPIEDADES:   [pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

1. Sea  un número complejo que satisface la ecuación: [pic 68]

[pic 69]

Determina cual es el valor de .[pic 70]

1. 8
2. 2
3. 4
4. 1
5. N.A.

RESOLUCIÓN:

Sea la ecuación:      

[pic 71]

Piden . [pic 72]

Si  , donde x e y son números reales. [pic 73]

Además, su módulo es:  [pic 74][pic 75]

Reemplazando en la ecuación:

[pic 76]

[pic 77]

Le agregamos a ambos lados de igualdad para simplificar  :[pic 78][pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

De igual forma le agregamos  para tener los términos complejos a un lado:[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

Factorizamos los términos complejos a un término común, obtenemos:[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

[pic 89]

Pero si  e  son números reales, como el miembro izquierdo de la igualdad es un número complejo y el derecho es un número real, significa que el miembro izquierdo debe ser cero. Es decir:  .    [pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

Luego, concluimos que: [pic 101]

1. Hallar el lugar geométrico y su ecuación correspondiente de los números complejos  que satisfacen la ecuación:[pic 102]

[pic 103]

RESOLUCIÓN:

Sea la ecuación:      

[pic 104]

Piden el lugar geométrico y su ecuación correspondiente de , donde  es un número complejo. [pic 105][pic 106]

Si  , donde x e y son números reales. [pic 107]

Además, su módulo es:  [pic 108][pic 109]

De  : [pic 110][pic 111]

[pic 112]

[pic 113]

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

Le agregamos a ambos lados de igualdad para simplificar :[pic 117][pic 118]

[pic 119]

[pic 120]

Luego trasladamos el término negativo a la izquierda:

[pic 121]

[pic 122]

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

[pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

Le agregamos a ambos lados de igualdad:[pic 127]

[pic 128]

[pic 129]

Le agregamos a ambos lados de igualdad:[pic 130]

[pic 131]

[pic 132]

1. Sean , hallar .[pic 133][pic 134]

1. 8-8i
2. 10+9i
3. -10-7i
4. 8+8i
5. N.A.

RESOLUCIÓN:

[pic 135]

[pic 136]

[pic 137]

[pic 138]

MATRIZ: Es un arreglo rectangular de números o letras ordenados en filas y columnas. Tiene diferentes tamaños.

• Elementos de una matriz: Son los números en el arreglo.
• Tamaño de una matriz: Se describe especificando el número de filas (líneas horizontales, m) y el número de columnas (líneas verticales, n).

El tamaño de la matriz es:  .[pic 139]

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