TOPOLOGÍA Bola Abierta

TOPOLOGÍA EN [pic 1]

Bola Abierta

Definición 1.- Sean [pic 2] la distancia entre los puntos  [pic 3] se define como:

[pic 4] 

Si [pic 5]  entonces [pic 6] 

Es la norma euclidiana de [pic 7] y se tiene las siguientes propiedades.

1. [pic 8] 
2. [pic 9] 
3. [pic 10] 

Definición 2.- Sea [pic 11]  una Bola abierta o Vecindad de centro [pic 12] y radio r es el conjunto:

        [pic 13] 

En partícula para n =1 se tiene

[pic 14] 

[pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20]

Análogamente para n =2 se tiene

[pic 21]  donde [pic 22] 

[pic 23]

De manera similar para n=3 se tiene

[pic 24]  donde [pic 25] [pic 26]

                                [pic 27]

Definición 3.- Sea A [pic 28], se dice que [pic 29] es un punto interior de A, si y solo si [pic 30]. El conjunto de todos los puntos interiores es llamado interior de A es denotado por:  [pic 31] esto es:

[pic 32] 

Definición 4.- Sea [pic 33], diremos que [pic 34]  es un Punto Frontera de A,  si y solo si [pic 35]. El conjunto de todos los puntos frontera es llamado frontera de A o Borde de A y es denotado por:

                [pic 36]  esto es [pic 37] 

Definición 5.- Dado [pic 38] es llamado punto exterior de A, si y solo si

[pic 39]. El conjunto de todos los puntos exteriores es llamado Exterior de A y es denotado por : Ext (A) = Ae. Esto es :

                [pic 40] 

[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

[pic 48]

[pic 49][pic 50]

Conjuntos abiertos

Definición 2.1 .-  Sea [pic 51] . Diremos que A es abierto si y sólo si [pic 52]  tal que [pic 53],  así un conjunto A es abierto en [pic 54]  si y solo si todos sus puntos son interiores.

Ejemplo 1

 Pruebe que [pic 55] es un conjunto abto [pic 56]

Prueba.

Sea x ∈ [pic 57] arbitrario

[pic 58]  ,  p = [pic 59]

Probaremos que Vr-p (x) ⊂ Vr (x0)

En efecto:  Sea  [pic 60]

Sabemos que

        [pic 61] < r – p + p

        [pic 62]

Teorema 2,2. (Propiedades de los conjuntos abiertos)

1. φ ∧ [pic 63] son abtos.
2. Si A1 , A2 son abtos en [pic 64] ⇒ A1 ∩ A2 es abto en [pic 65]
3. Si [pic 66] es una colección de abiertos en [pic 67]

             [pic 68]es abierto en [pic 69][pic 70]

Prueba

1. φ ∧ [pic 71] son abtos
2. Si A1 ∩ A2 = φ ⇒ A1 ∩ A2 es abierto

Supongamos que A1 ∩ A2 ≠φ

Sea [pic 72] A1 ∩ A2 [pic 73]

Como A1 y A2 son abiertos existen vecindades [pic 74]

Tomando r = min {r1, r2} se tiene que                 

        [pic 75]

1. Sea [pic 76]

Dado [pic 77]

Como Aα es abierto, ∃r > 0 tal que

        [pic 78]

Observación 1.- La intersección arbitraria de abierto en [pic 79]  no es necesariamente abierto en [pic 80].

Ejemplo 2

        [pic 81] 

        [pic 82] no es abierto

Definición 2.3.- Dado [pic 83] , una vecindad reducida de centro [pic 84] y radio r es definida como:

                        [pic 85] 

Definición 2.4.- Dado [pic 86] es punto de Acumulación de A[pic 87] , si y solo si [pic 88] . El conjunto de todos los puntos de acumulación de A es llamado el Derivado de A.

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