Taller # 1 Ejercicio #1 (Solución de D’Alambert ecuación de Onda)

Taller # 1

Ejercicio #1 (Solución de D’Alambert ecuación de Onda)

a). Considere encontrar la función U (x, t) como solución de la ecuación de onda, definida sobre una cuerda infinita:

[pic 1]

Con condiciones iniciales:

[pic 2]

Resolución:

• De acuerdo a la  sección 12.4 (pág.553)( Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition), la solución general de D’Alambert para la ecuación de Onda sobre una cuerda infinita está dada por: (Erwin Kreyszig, 1976)

[pic 3]

• Utilizando el teorema fundamental del cálculo tenemos:

[pic 4]

Donde G es la anti derivada de la función  g.

• Luego derivamos con respecto a t y posteriormente sustituimos t=0.

[pic 5]

Donde g es la función  original.

[pic 6][pic 7]

[pic 8]

• Y utilizando la segunda condición inicial, obtenemos que:

[pic 9]

[pic 10]

• A continuación sustituimos g(x) en la solución de D’Alambert con t=0, e igualamos con la primera condición inicial u(x, 0)=sin (nx).[pic 11][pic 12][pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

• Remplazando f(x) y g(x) en la solución general de D’Alambert ,tenemos:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

• Finalmente suponiendo que c2=1 en la ecuación de la onda, se obtiene una solución particular que cumple las condiciones iniciales igual a:

[pic 26]

[pic 27]

b). Una vez conseguida la expresión de la función solución, utilice algún programa para realizar dos graficas de la función u(x, t) de forma separada, una con n=2, para los valores de tiempo t=0,1/2 ,1; y otra grafica con n=3, para los mismos valores del tiempo t.

• La función solución u(x,t) de D’Alambert de la ecuación de la onda obtenida está dada por:

[pic 28]

Grafica #1

[pic 29][pic 30]

Grafica #2

[pic 31]

[pic 32]

Ejercicio #2 (Integral discreta de Fourier) (DFT)

Considere la señal discreta dada por  . [pic 33]

a). Encuentre la transformada de fourier discreta  de la señal  usando la DFT.[pic 34][pic 35]

Resolución:

• La transformada discreta de fourier está definida por:

[pic 36]

• La cual la podemos calcular de forma matricial de la siguiente manera:

[pic 37]

• Donde FN = [enk] es la matriz de fourier y  es la señal discreta dada.[pic 38]

[pic 39]

• Asumiendo el tamaño de nuestra matriz de fourier N=4, debido a que tenemos 4 componentes de nuestra señal discreta obtenemos que:

[pic 40]

[pic 41]

• A continuación se realiza la construcción de la matriz FN de la DFT.

[pic 42]

• Y finalmente se calcula la DFT de la señal dada remplazando valores en la ecuación matricial de la DFT =FN*[pic 43][pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

b). Encuentre la señal discreta que tiene por DFT el vector  cuyas componentes están determinadas por:[pic 47][pic 48]

[pic 49]

Donde  es la n-ésima componente de la transformada discreta  encontrada en el literal a).[pic 50][pic 51]

...