Tarea Tipo I: Fracciones de Lacsap Matemática NM

FRACCIONES DE LACSAP

Objetivo: En esta tarea se considerará un conjunto de números presentados en un patrón simétrico.[pic 1]

Considere las cinco filas de números que se muestran a continuación.

Describa cómo hallar el numerador de la sexta fila.

Utilice algún medio tecnológico para graficar la relación entre el número de fila, n, y el numerador de cada fila. Describa lo que observa a partir de su gráfica y escriba una proposición general que represente lo observado.

Halle la sexta y séptima fila. Describa los patrones que haya utilizado.

Sea  el elemento (r+1)-ésimo de la fila enésima, comenzando con .[pic 2][pic 3]

Ejemplo: .[pic 4]

Halle la proposición general para .[pic 5]

Compruebe la validez de su proposición general, hallando filas adicionales.

Discuta el alcance y/o las limitaciones de la proposición general.

Explique cómo obtuvo su proposición general.

En este trabajo se pueden observar números ordenados de manera tal que forman un triángulo, el cual presenta una similitud con el triángulo de Pascal. Lacsap es Pascal leído al revés, esto da la pauta de que se puede utilizar el triángulo de Pascal para resolver esta tarea.

En el triángulo a observar se presentan cinco filas que parecen guardar una relación entre sí. Parecen sucederse una a la otra con algún tipo de lógica constructiva que podría ayudar a encontrar la sexta fila. Ya que el numerador de cada fila no cambia, será más fácil empezar averiguando el numerador.

 es el número de fila y  el elemento, empezando por  como muestra la siguiente figura. [pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

A continuación se demostrará cómo sacar el numerador de las filas 6 y 7.

Como se observa en la figura inferior, se puede obtener el numerador en la siguiente fila () si se suma al numerador de la fila  el  de la fila siguiente (). De esta forma es posible averiguar que el numerador de la fila 6 es 21. [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Esto se debe a que si se le suma a 6 (el número de fila del cual se desea conocer el numerador) el numerador de la fila anterior (15), da como resultado el numerador deseado: 21.

De la misma forma se puede encontrar el numerador de la séptima fila. Este va a ser 28 porque 21 (el numerador anterior) más 7 (n) es 28, como muestra la figura debajo.

[pic 14]

Lo próximo que se hará es utilizar el programa Microsoft Excel para obtener un gráfico que represente la relación entre el número de fila y el numerador. Se introducirá la siguiente tabla en el programa:

Y el gráfico correspondiente es el que se muestra a continuación. 

[pic 15]

Al observar la trayectoria de los puntos, estos parecen asemejarse a una parábola. Por esta razón se utilizó la regresión cuadrática para encontrar la fórmula de la función cuadrática a la que pertenece.

El resultado fue la función .[pic 16]

[pic 17]

Para poder conocer los denominadores de las filas 6 y 7, se ha utilizado un método diferente. Se observa un patrón muy curioso. Si se toman los números 1 que se encuentran en los extremos y se los piensa de modo que sean un entero, los numeradores de cada fila le darán el número entero a cada 1 como se muestra en el esquema debajo. De esta forma, y cada dos filas, los denominadores aumentan n veces respecto del denominador dos filas superior. El esquema inferior muestra cómo fueron hallados los denominadores de las filas 6 y 7.[pic 18][pic 19]

Si a 10 (el denominador del  de la fila 4, dos filas superior a la fila 6) se le suma el n dos filas inferior, del cual se desea conocer sus denominadores, el resultado será 16, el cual es el primer denominador de la fila . Del mismo modo, el denominador del  de la fila , el cual es igual a 6, sumado al 6 proveniente del número de fila , da como resultado el denominador del  de la fila , el cual es igual a 12.[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Habiendo demostrado lo anterior, el triángulo con las filas 6 y 7 quedaría de la siguiente  manera.

[pic 27]

Con el propósito de encontrar la fórmula general, es correcto afirmar que se deben buscar antes dos fórmulas: la del numerador y la del denominador. Una vez halladas, la fórmula general  simplemente se trata de la unión de ambas fórmulas anteriormente halladas en su lugar correspondiente. [pic 28]

En Pascal, se utiliza la siguiente fórmula para determinar cualquiera de los elementos del triángulo:

[pic 29]

Esta fórmula posee limitaciones debido a que el factorial sólo admite números pertenecientes al conjunto de los Naturales positivos más el cero.

[pic 30]

Al igual que en Pascal, los numeradores de las filas de Lacsap son siempre iguales. De esto se deduce que se puede cambiar la fórmula de forma tal que sirva para encontrar los numeradores de Lacsap. Observando ambos triángulos se puede decir que comparten una relación. Por ende, tomando la fórmula del triángulo de Pascal es posible averiguar los numeradores de Lacsap.

Para poner todos los elementos de la ecuación en términos de  se sustituirán por expresiones equivalentes en . [pic 31][pic 32]

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