Tema 12. Área entre curvas

[pic 1][pic 2]

Tema 12. Área entre curvas

El área bajo la curva de una función la puedes calcular con el teorema fundamental del cálculo:[pic 3]

Después de integrar sustituyes los límites en dicha función, restando el límite superior del inferior. El resultado de esta integral definida representa el área bajo la curva.

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, debes considerar dos funciones y = f (x) y y =g(x), las cuales deben ser continuas en el intervalo [a, b]. Si las gráficas están sobre el eje x y la gráfica y = g(x) está debajo de la gráfica y = f(x) , se puede determinar el área de la región entre las gráficas de la siguiente manera:   [pic 4]

ACTIVIDAD 12

3) –y= x2 +2                y= x        x=0         x=1

Tema 13. Volumen por el método de discos

Al rotar una región en el plano alrededor de una recta, generas un sólido de revolución y la recta se llama eje de revolución.

Volumen del disco = (área de disco) (anchura de disco)[pic 5]

El método del disco se aplica para determinar el volumen de un sólido de revolución. Este método requiere encontrar la suma de los volúmenes de discos representativos para aproximar el volumen del sólido. Cuando se incrementa el número de discos la aproximación es más exacta. Este mismo procedimiento fue el que utilizaste para encontrar el área bajo una curva y lo seguirás aplicando; es el concepto de la integral definida.

Método de los discos

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución aplicando el método de los discos utilizarás una de las fórmulas siguientes:

ACTIVIDAD 13

2) y= 4 – x2         x=0        y=0  alrededor del eje x

x (0 ≤ x ≤ π) y= 4 – 02  = 4

v= π S04 (4 – x2) dx= π S04 (16 – 8x2 – x4) dx = 16x 8x3/3 – x5/5 |64 = 16(4) – 8 (4)3 – (4)5/3 = 311.46/V2 

3) [pic 10]

π S01(√x)2 dx= π S04 x dx= π x2/2 |01  π (1)2/2 = 1.57 u2 

4) x= -y2 + 4y x= 0 alrededor del eje y

π S01 ( -y2+ 4y)2 dy y4 – 8y3 + 16y2= (2) 4 – 8 (2)3 + 16 (2)2 16v2

-y2  + 4y

y ( -y2 + 4) y=√4

y= 0 – y2 = -4   y= 2

y2= 4  

Tema 14. Longitud de arco y valor medio de una función

La longitud del arco, que sirve para medir la longitud de una curva. Para hacerlo debes partir de la fórmula de la distancia entre dos puntos y expresarla como una integral, ya que representa la suma de los segmentos de la curva infinitamente pequeños.

[pic 11]

Definición de longitud de arco

Si f es una curva suave y su derivada f ´ es continua en el intervalo [a, b], entonces la fórmula que utilizarás para encontrar la longitud de arco está dada por:[pic 12]

[pic 13] 

Esta fórmula para la longitud de arco sólo la verás en casos sencillos, ya que al utilizar la fórmula en casos más complicados, te lleva a integrales que no pueden ser resueltas, lo que hace necesario utilizar una aproximación numérica de la integral

Valor medio de una función

El valor promedio de un conjunto de n números, lo obtienes sumando los n números y dividiéndolos entre n; es decir [pic 14]

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