Trigonometría Resolución de triángulos

Trigonometría Resolución de triángulos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Consideraremos el triángulo rectángulo ∆ ABC tal que º 90A =

Recordemos que en triángulo rectángulo cualquiera se cumplía el teorema de Pitágoras: 222 cba +=

Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α

hipotenusa opuestocateto

CB AB sen = =α Definimos coseno del ángulo α y lo representamos por cos α

hipotenusa contiguocateto

CB CA cos = =α Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α

contiguoocatet opuestocateto

CA AB tg = =α Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Sea el punto Q(x,y) Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el punto Q y tiene radio r. Consideramos el ángulo POQ ∠=α Definimos:

r y

sen = α

r x

cos = α

x y

tg = α

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas. Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones:

1cossen 22 = α+α

α α

=α

cos sen tg Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometría.

Uso de la calculadora: Modos angulares de la calculadora: MODE DEG medidas sexagesimales MODE GRA medidas centesimales MODE RAD medidas en radianes

Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones trigonométricas con las teclas sin cos tan Ejemplo: Calcula " 50'25º43tg , sen50º30’, Con calculadoras antiguas: 43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” tan = 0.9467

50 º ’ ” 30 º ’ ” sin = 0.7716

Con calculadoras nuevas tan 43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” = 0.9467

sen 50 º ’ ” 30 º ’ ” = 0.7716

Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α podemos calcular el ángulo α con las teclas 111 tancossin − −− Ejemplo: Calcula el ángulo α tal que 34 .0sen =α . ) 34.0arcsin(=α Con calculadoras antiguas: 0.34 1 sin− SHIFT º ’ ” 19º52’37”

Con calculadoras nuevas: 1sin − 0.34 = SHIFT º ’ ” 19º52’37”

Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos.

Con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. Veamos los siguientes ejercicios:

Problema 1: Del triángulo rectángulo

∆ ABC tal que º 90A = conocemos

cm4b,cm5a == Determina todos los lados, los ángulos y el área del triángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras: 222 cba += 222 c45 += , 2 c1625 += , 9 c2 = Entonces 3 c = . Aplicando cualquier razón trigonométrica podemos calcular el ángulo C.

a b Ccos = , 8 '0 5 4 Ccos = = Con la ayuda de la calculadora " 12'52º368.0arccosC == Sabiendo que los tres ángulos de un triángulo suman 180º ( º 180CBA =++ ) Tenemos que º 90CB =+ , entonces " 48'7º53"12'52º36º90Cº90B =−=−= Por ser el triángulo rectángulo, el área es 2 cm6 2 34 2 cb S = ⋅ = ⋅ =

Problema 2: Para subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de 55m, que forma con la horizontal un ángulo de 67º36’. Con estos datos calcula la altura del Miquelet.

Notemos que la horizontal, y el Miquelet forman un ángulo recto. Sea x la altura del Miquelet, Utilizando la razón trigonométrica seno,

55 x '36º67sen = Entonces, m 85'50'36º67sen55x =⋅=

Problema 3: El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto C de La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la altura de la torre.

Solución: Dibujamos el gráfico siguiente:

Sea AD x = , sea AB h =

Sea el triángulo rectángulo

∆ ABC

x12 h

º22tg

+ =

Sea el triángulo rectángulo

∆ ABD

x h º45tg = Con la ayuda de la calculadora 1 º45tg,4040'0º22tg = = Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:

⎩ ⎨ ⎧

⋅= += º45tgxh º22tg)x12(h

substituyendo

⎩ ⎨ ⎧

= ⋅+= xh 4040'0)x12(h

⎩ ⎨ ⎧

⋅+= = 4040'0)x12(x xh

⎩ ⎨ ⎧

+= = x4040'08480.4x xh

⎩ ⎨ ⎧

= = m1342'8x m1342'8h

Entonces la altura de la torre es 8’1342m

Problema 4: Calcula el lado y la apotema de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm.

Solución: Sea 5 OAr = = el radio de la circunferencia circunscrita al pentágono regular. Sea el lado del pentágono AB x = Sea la apotema del pentágono OC y =

El ángulo º 72 5 º360 AOB = =∠

Consideramos el triángulo isósceles

∆ ABO

La altura del triángulo divide al triángulo

∆ ABO

en dos triángulos rectángulos iguales. Consideramos el triángulo rectángulo

∆ CBO

El ángulo º 36 2 º72 COB = =∠

Sean,

2 x

2 AB CB = = y OC = Aplicando las razones trigonométricas:

5 2 x

OB CB º36sen = =

10 x º36sen =

Haciendo uso de la calculadora:

10 x 5878'0 = , entonces el lado del pentágono mide cm 878'5x =

5 y

OB OC º36cos = = Usando la calculadora:

5 y 8090'0 = , entonces la apotema del pentágono mide cm 045'4y =

Teorema de los senos Los lados de un triángulo

∆ ABCson proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

C ˆsen c

B ˆsen b

A ˆsen a = =

Teorema del coseno. Sea el triángulo ∆ ABC. Se cumplen las siguientes igualdades.

C ˆcosab2bac B ˆcosac2cab A ˆcosbc2cba 222 222 222 ⋅−+= ⋅−+= ⋅−+=

Cálculo del área de un triángulo.

2

A ˆsencb

S

⋅⋅ =

2

C ˆsenba

S

2

B ˆsenca

S

⋅⋅

=

⋅⋅ =

Para resolver los triángulos, es de gran ayuda tener nociones de dibujo. Casi todos los

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