Trigonometría analítica

7. Trigonometría analítica.

7.1 Verificación de identidades trigonométricas

Una expresión trigonométrica contiene símbolos que se involucran a funciones trigonométricas.

Expresiones trigonométricas

x + sen x    

 [pic 1]

[pic 2]

Suponemos que el dominio de cada variable en una expresión trigonométrica es el conjunto de números reales o ángulos para los que la expresión tiene significado.

7.2 Ecuaciones trigonométricas.

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene expresiones trigonométricas. Si una ecuación trigonométrica no es identidad, con frecuencia hallamos soluciones mediante el uso de técnicas semejantes a las empleadas para ecuaciones algebraicas. La principal diferencia es que, de la ecuación trigonométrica primero despejamos sen x, cos u, etcétera y luego hallamos valores de x o u que satisfagan la ecuación. Se pueden expresar soluciones ya sea como números reales o como ángulos.

7.3 Fórmulas de la adición y sustracción

En esta sección deduciremos fórmulas que contienen funciones trigonométricas de u  v o u  v para cualesquier números reales o ángulos u y v. Estas fórmulas se conocen como fórmulas de la adición y sustracción, respectiva- mente, o como identidades de la suma y diferencia. La primera fórmula que consideraremos puede expresarse como sigue.

Fórmula de la sustracción para el coseno

cos (u-v)= cos u cos v + sen u sen v

Fórmula de la adición para coseno

cos (u- v) =cos u cos v +sen u sen v

Nos referimos a las funciones seno y coseno como cofunciones una de otra. Del mismo modo, las funciones tangente y cotangente son cofunciones, como son la secante y cosecante.

Si u es la medida en radianes de un ángulo agudo, entonces el ángulo con medida en radianes es complementario de u . Usando razones, vemos que

Sen==cos(-u)[pic 3][pic 4]

Cos= Sen=sen(-u)[pic 5][pic 6]

tan==tan(-u)[pic 7][pic 8]

En las fórmulas siguientes usamos fórmulas de la sustracción para ampliar estas relaciones a cualquier número real u, siempre que los valores de la función estén definidos.

Fórmulas de cofunción Si u es un número real o la medida en radianes de un ángulo, entonces,

Fórmulas de la adición y sustracción para seno y tangente

7.4 Fórmulas de ángulos múltiples.

Nos referimos a las fórmulas consideradas en esta sección como fórmulas de ángulos múltiples. En particular, las siguientes identidades son fórmulas de ángulo doble, porque contienen la expresión 2u.

Fórmulas de ángulo doble

(1)sen 2u = 2 sen u cos u

(2a)cos 2u = cos2 u - sen2 u

(2b)cos 2u = 1 - 2 sen2 u

(2c) cos 2u = 2 cos2 u – 1

(3)tan 2u =[pic 9]

Identidades de semiángulo

(1)u=[pic 10][pic 11]

(2) cos2 u=[pic 12]

(3) tan2 u=[pic 13]

Fórmulas de semiángulo

sen=[pic 14][pic 15]

cos=[pic 16][pic 17]

tan=[pic 18][pic 19]

7.5 Fórmulas de producto a suma y suma a producto

Las fórmulas siguientes se pueden usar para cambiar la forma de ciertas ex- presiones trigonométricas de productos a sumas. Nos referimos a éstas como fórmulas de producto a suma aun cuando dos de las fórmulas expresan un producto como una diferencia, porque cualquier diferencia x  y entre dos números reales también es una suma x + (-y). Estas fórmulas se usan con frecuencia en cálculo como ayuda en un proceso llamado integración.

7.6 Funciones trigonométricas inversas

La función inversa f1 de una función f, es esencial que f sea biunívoca, esto es, si a = b en el dominio de f, entonces f(a) =f(b). La función inversa f1 invierte la correspondencia dada por f.

La función seno no es biunívoca, porque números diferentes, por ejemplo, y dan el mismo valor de función Si restringimos el dominio a, entonces, obtenemos una función biunívoca (creciente) que toma todo valor de la función seno una vez y sólo una vez. Usamos esta nueva función con dominio y rango para definir la función seno inversa.

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