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       Tema  2.   LÍMITES Y CONTINUIDA DE FUNCIONES

    Aunque en la parte que vamos a estudiar ahora manejaremos casi siempre funciones de dos variables conviene que conozcamos las clases de funciones que podemos encontrar.

      Funciones reales de variable real

    Son aplicaciones definidas entre números reales, es decir, el conjunto inicial es  o un subconjunto de  y el conjunto final es .

    Una aplicación entre números reales la denotaremos de la siguiente forma:

siendo  , es decir,  es un subconjunto de .

    La función  asocia a cada elemento del conjunto  un número real que denotamos por  y que llamamos imagen del elemento .

    Esto lo escribiré de la siguiente manera

    Al conjunto de puntos donde está definida la función le llamaremos dominio de la función y lo denotaremos por D(). D() es, por tanto, el conjunto de puntos que poseen imagen mediante la función .

 Tenemos, pues, que

D() = { / }

    ( Nota: El símbolo / lo leeremos “tal que”)

    Funciones reales de una variable son, por ejemplo,

.

    Las funciones de una variable se pueden representar gráficamente en el plano  OXY  (en 2º de Bachillerato ya lo has hecho).

         Funciones reales de varias variables

    Las funciones reales n variables serán aquéllas definidas sobre   o sobre un subconjunto suyo y que tomen valores reales. Lo denotaremos

    siendo  

    Lo que hacen estas funciones es asociar a cada vector de n componentes  un número real , que será la imagen del elemento .

    Al igual que en el caso anterior, el dominio de la función estará formado por aquellos elementos de  que poseen imagen mediante la función .

D() = { / }

    Veamos algunos ejemplos de funciones reales de varias variables.

    z =  =     es una función de dos variables. Podemos hallar la imagen de cualquier elemento de  que será un cierto número real.

          .

           .

    El dominio de esta función es todo . D() = .

____

    T =     es una función de tres variables que toma valores en  . Podemos hallar las imágenes de algunos puntos:

    Vemos que podemos hallar la imagen de cualquier punto de . Tenemos, por tanto, que el dominio de esta función es:

    D(T) = D() = .

____

    Las funciones reales de dos variables , , se pueden representar gráficamente en el espacio . En el plano OXY tendríamos los puntos del dominio  y su imagen  se tomaría en el eje OZ. La gráfica de la función estaría formada por los puntos , siendo .

    Gráfica de la función  = G() = {, con }.

    Al poner en el espacio  todos los puntos de la forma , con  , se obtiene una superficie en el espacio.

    Las funciones de más de dos variables no tienen representación gráfica.

        Funciones vectoriales de varias variables

    Este es el caso más general que podemos encontrar.

    Las funciones vectoriales están definidas sobre  o sobre un subconjunto suyo y toman valores en . Una función vectorial la denotaremos en la forma

    La función  asocia a cada vector de n componentes de  un elemento  =  de ;  tendrá m componentes y será de la forma

 =  = ( , , … ,  )

    Ahora, el dominio de esta función vectorial  está formado por el conjunto de puntos  para los cuales existen las funciones , , … , .

    Veamos un ejemplo. Voy a definir una función vectorial entre  y. Definiré  como la función que a cada par  le asocia la terna

( , ,  ). Esto lo podemos indicar en la forma

  ( , ,  )

    O también escribiendo

 = ( , ,  )

    Como ves, la imagen es un vector de tres componentes

Calculemos la imagen de algún punto:

[pic 1]

[pic 2]

        Límite de una función real de variable real

    Supongamos que tenemos una función real de variable real

     con

    Vamos a definir cuándo esta función tiene límite en un punto  del dominio, es decir, .

    La función  tendrá límite en el punto  y ese límite valdrá un cierto número real  si ocurre que al tomar puntos  suficientemente próximos al punto  sus imágenes, , estén tan próximas a  como nosotros

queramos. Utilizando la notación matemática esta definición que acabamos de dar se escribiría:

            /  si  d(,)<  entonces

                                        d(,)<

 (Nota: mediante d(,) estoy denotando la distancia que hay entre el punto  y el punto )

    Tal vez ya hayas visto alguna vez la definición de límite escrita de esta forma. Si no es así, esta definición que acabas de ver no tiene que asustarte. Tampoco es necesario que intentes memorizarla, pues la teoría de los límites no está entre los objetivos fundamentales de este curso.  Estamos viendo lo esencial porque, más adelante, definiremos los conceptos de derivada, derivada parcial, derivada direccional como límites. Por tanto, conviene que al menos tengas una ligera idea de lo que significa.

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