The strokes

Tema 11 y 12

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Explicación

Actividad

Tarea

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Explicación

Tema 11: Movimiento rotacional

Fundamentos de cinemática rotacional

El movimiento lineal de un objeto queda definido a través de magnitudes o cantidades físicas como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. En el movimiento rotacional de un objeto los conceptos son similares, lo cual facilita su estudio y comprensión. A continuación se definen y se describen las cantidades físicas que rigen a la cinemática rotacional, que también es llamada cinemática angular o cinemática circular.

Posición angular: se representa con la variable θ, indicando el ángulo en donde se ubica el objeto con respecto a un eje de referencia llamado eje polar, que forma el ángulo θ=0. En este caso el objeto describe una trayectoria circular de radio r, siendo este radio la distancia de la línea recta o rayo que va del centro del círculo hasta donde está ubicado el objeto. El ángulo puede ser medido en radianes, grados o revoluciones.

Radián: es el ángulo que forma el rayo, que limita una longitud de arco de circunferencia igual al radio del círculo.

El perímetro de una circunferencia tiene una longitud: P = π(diámetro) = 2πr, y su abertura angular abarca una vuelta o una revolución, por lo tanto:

1 revolución = 2π radianes =360 grados

Desplazamiento angular (Δ θ): es el cambio de posición angular en que gira el objeto y se determina mediante la diferencia entre la posición angular final con la posición angular inicial, que se expresa por la relación:

Δθ = θ2 - θ1

Velocidad angular media (): es la razón de cambio del desplazamiento angular del objeto en un determinado tiempo y se determina como sigue:

Velocidad angular instantánea: es la razón de cambio del desplazamiento del objeto, pero en un tiempo infinitesimalmente pequeño, y se determina como sigue:

Por lo que la función de velocidad angular, para cualquier instante de tiempo, se obtiene derivando con respecto al tiempo la función de posición del objeto. De la ecuación anterior y aplicando el cálculo integral se obtiene:

Por lo que el desplazamiento angular del objeto se determina mediante la integral definida de la función de velocidad angular con respecto al tiempo.

Aceleración angular media: es la razón de cambio de la velocidad angular del objeto en un determinado tiempo y se calcula por la ecuación:

Aceleración angular instantánea: es la razón de cambio de la velocidad del objeto, pero en un tiempo infinitesimalmente pequeño, y se determina como sigue:

Por lo que la función de aceleración angular, para cualquier instante de tiempo, se obtiene derivando con respecto al tiempo la función de velocidad angular del objeto. De la ecuación anterior y aplicando el cálculo integral se obtiene:

Por lo que el cambio de velocidad angular del objeto se determina mediante la integral definida de la función de velocidad con respecto al tiempo.

De los conceptos y ecuaciones anteriores se deducen las siguientes ecuaciones de cinemática para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

En este caso de aceleración angular constante, la velocidad angular media es igual a la velocidad angular promedio, esto es:

Si de las dos ecuaciones anteriores se despeja el tiempo en cada ecuación y luego se igualan, se obtiene la ecuación:

En donde Δθ = θ - θ0.

En caso de que la velocidad angular sea constante, es decir aceleración angular cero, el desplazamiento angular es:

, o bien:

A continuación se presentan ejemplos del movimiento rotacional con sus correspondientes gráficas en función del tiempo.

Ejemplo 1. Movimiento rotacional con velocidad angular constante

Considera el movimiento rotacional de un disco (por ejemplo un CD o un DVD) sin fricción, con una rapidez angular de 2 rad/s; dibujar la gráfica de posición y velocidad angular después de haber girado 6 rad.

Gráfica de posición angular en función del tiempo

En la Fig. 1 se muestra la gráfica de posición angular con respecto al tiempo. Observa que la rapidez angular constante de 2 rad/s significa que cada segundo que pasa, el disco gira un ángulo de 2 rad, por lo tanto al transcurrir tres segundos va a girar 6 rad.

Fig. 1. Gráfica de posición en función del tiempo a velocidad constante

Análisis de la gráfica de posición del carrito en función del tiempo

Aplicando la ecuación de velocidad angular media en el intervalo de 0 a 3 s, se obtiene:

Relación de la gráfica con la pendiente de una recta que pasa por dos puntos

La pendiente de una recta indica su grado de inclinación con respecto a la horizontal y se obtiene analíticamente a través de la función tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal y que también se puede obtener con los valores de los catetos de un triángulo rectángulo; de acuerdo a la definición de la función tangente, esto es:

En un plano cartesiano (x,y) esta ecuación de la pendiente queda como:

Si se observa la gráfica de la Fig. 1 se forma un triángulo rectángulo en los intervalo de 0 a 3 segundos, por lo que al determinar la pendiente de la recta (hipotenusa) del triángulo se obtiene que:

Que corresponde al valor de la velocidad media en el intervalo de 0 a 3 segundos.

Al igual que en cinemática lineal, se puede concluir que:

En una gráfica de posición angular en función del tiempo, el valor de la pendiente de una línea recta entre dos puntos de la gráfica corresponde al valor de la velocidad media en ese intervalo de tiempo, correspondiendo a dichos puntos.

Gráfica de velocidad angular de la rotación del disco en función del tiempo

A continuación se muestra la gráfica de velocidad angular en función del tiempo, que de acuerdo a los resultados numéricos anteriores corresponde a una línea recta horizontal en el valor de ω=2 rad/s, esto es:

Fig. 2. Gráfica de velocidad angular en función del tiempo con velocidades constantes

Por otra parte, anteriormente se escribió

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