Ensayo conjuntos

Introducción.

Antes de inmiscuirnos en este tema que toma conceptos asociados al “conjunto” debemos saber que es o cual es la definición de un conjunto, de igual manera también sabremos por quién surgió la teoría de “conjuntos”.

George Cantor (1846-1918), fue un matemático  alemán a quien se le otorga el crédito por la creación de la teoría de conjuntos, en particular destaco la importancia de la correspondencia uno a uno entre conjuntos y establecido los conceptos fundamentales que se relacionan a los conjuntos infinitos.  Hasta principios del siglo XX, un conjunto era entendido como cualquier colección de objetos de nuestra intuición o imaginación.

En 1902 el matemático Gotlob Frege estaba a punto de publicar un monumental trabajo, en el cual la aritmética era construida sobre la base de esta noción de conjunto. En este punto Frege recibió una carta de Bertrand Russell que lo decidió a agregar el siguiente párrafo con el cual termina el segundo volumen de su obra: “No hay menos apetecible para un hombre de ciencia, que el que cuando está a punto de terminar su obra se le derrumben los cimientos. En esta situación me coloca una carta del señor Bertrand Russell, recibida cuando la obra estaba a punto de salir de la imprenta.“

En su carta Russell planteaba la siguiente paradoja. Existen dos tipos de conjuntos, los conjuntos regulares y los conjuntos no regulares. Los conjuntos regulares son aquellos que no se contienen a sí mismos como elementos. Un ejemplo de un conjunto no regular es el conjunto de todos los conjuntos describibles con menos de cincuenta palabras en español. Consideremos ahora el conjunto R cuyos elementos son todos los conjuntos regula-res. Ahora bien, R mismo debe ser un conjunto regular o un conjunto no regular. Si R es regular entonces se contiene a sí mismo como elemento, y por lo tanto es no regular, lo cual es una contradicción. Pero si R es no regular entonces R no se contiene a sí mismo como elemento y es por lo tanto regular, lo cual otra vez es una contradicción.

La moraleja es esta: el uso libre de la noción intuitiva de conjunto puede conducir a contradicciones. La noción de conjunto puede servir como base firme para las matemáticas sólo si una aproximación más sofisticada es empleada.

Entonces, nosotros definimos un conjunto como una colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto. De esta manera, daré inicio al ensayo complementando la información introductoria aquí dada y de esta manera llegar a “aprender” algo de lo aquí planteado.

1.- Características de los conjuntos.

Un conjunto no es solo cualquier colección de objetos, sino que además este debe estar bien definido en el sentido de que, si se considera cualquier objeto, se puede saber con certeza si es parte o no de la colección.

Es importante establecer que a los objetos de un conjunto se les llama elementos o miembros del conjunto, y es común representarlos con letras minúsculas, a, b, c…, mientras que la notación usual para los propios conjuntos es con letras mayúsculas, A, B, C….

Por otra parte, hay dos maneras comunes de especificar un conjunto dado. La primera es mediante la presentación de un listado de sus elementos entre llaves; por ejemplo, si aw consiste de todas las letras del alfabeto español, entonces a puede presentarse en la forma:

a = {a, b, c, …,z}

La segunda forma de presentar un conjunto es especificando una regla que establece la propiedad o propiedades que un objeto debe satisfacer para ser considerado como un miembro del conjunto.

Si se utiliza esta notación, el conjunto A puede ser presentado en la forma: 

A = {a, t · q · a es una letra del alfabeto español}

Y se lee: “A es el conjunto de todos los elementos a, tales que a es una letra del alfabeto español”. La notación que se usa para especificar que un objeto a es un elemento de un conjunto A es:

a ∈ A

Y se lee: “a es un elemento de A” o, en forma alternativa, “a pertenece a A”. Por otro lado, si el objeto a no es un elemento del conjunto A, entonces se escribe:

a ∉ A

Y se lee: “a no es elemento de A” o, en forma alternativa, “a no pertenece a A”.

Por ejemplo, si A = {a, b, c, d}, se entiende que d ∈ A, pero e ∉ A.

De acuerdo con el concepto de conjunto definido antes, resulta claro que para que un conjunto A sea igual a un conjunto B, lo cual se denota por A= B, ambos deben tener exactamente los mismos elementos.

Ejemplo:

Sean A, B, C los siguientes conjuntos: 

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {1, 3, 5, 2, 4}

Por lo que entendemos que B = C, ya que cuentan con los mismos elementos, aunque en este caso en un orden distinto. Pero A ≠ B y A ≠ C, ya que 5 ∈ B y 5 ∈ C, pero 5 ∉ A.

Algunas veces es imposible o inconveniente listar los elementos de un conjunto entre llaves, entonces en lugar de esto se utiliza lo que se conoce como notación abstracta:

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