Ing. Electromecánica. Capacitores y capacitancia

1. Capacitores y capacitancia

Dos conductores separados por un aislante (o por el vacío) constituyen un capacitor. Normalmente, en la mayoría de las aplicaciones prácticas, cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero y los electrones son transferidos de un conductor a otro, a esta acción se la denomina cargar el capacitor. Entonces, los dos conductores o chapitas tienen cargas de igual magnitud y signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjunto permanece igual a cero.

La forma más sencilla de un capacitor consiste en dos placas conductoras paralelas, cada un área, separadas por una distancia d que es pequeña en comparación con sus dimensiones.

[pic 1]

Una forma de cargar un capacitor es conectar los dos alambres o extremos a los terminales opuestos de una batería, esto genera una diferencia de potencial fija entre los conductores qué es exactamente igual al voltaje de la batería.

Si las dos chapitas del capacitor han sido cargadas con una cantidad Q, se genera un campo eléctrico entre el espacio que hay entre las dos chapitas, este campo es proporcional a la magnitud de Q, por lo tanto, V también es proporcional a Q.

Si aumentamos la magnitud de carga Q en los extremos del capacitor también aumenta la densidad de carga en cada conductor y por ende el campo eléctrico en cada punto, al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sin embargo, la razón entre la carga y de diferencia de potencial no cambia. esta razón se llama capacitancia.

[pic 2]

Cuanto mayor sea la capacitancia, mayor será la magnitud Q de la carga en el conductor de cierta diferencia de potencial dada V, y, por lo tanto, mayor será la cantidad de energía almacenada.

Así entonces la capacitancia de un condensador es una medida de aptitud para almacenar energía.

2. Cálculo de capacitancia

Podemos calcular la capacitancia de un capacitor dado encontrando la diferencia de potencial entre sus extremos para una magnitud de cargada dada Q, lo hacemos aplicando la ecuación que acabamos de ver, por ahora sólo se considerarán capacitores con vacío

También vimos el arreglo clásico de un capacitor, este tipo de capacitores recibe el nombre de capacitor de placas paralelas, en el, se genera un campo eléctrico que está localizado casi por completo en la región entre las placas, el campo entre esas placas es esencialmente uniforme, y las cargas en las placas se distribuyen de manera uniforme en sus superficies opuestas.

[pic 3]

En el capítulo 21 vimos a cuanto equivale el campo eléctrico generado entre el espacio de dos placas cargadas uniformemente, esto es:

[pic 4]

También vimos que la diferencia de potencial VAB para un campo eléctrico uniforme se calculaba como un producto escalar entre el campo E y la distancia d, por lo que nos queda:

[pic 5]

A partir de estos datos podemos calcular la capacitancia de un capacitor de placas paralelas con vacío

[pic 6]

De esta expresión podemos deducir que la capacitancia, en un capacitor de placas paralelas y con vacío, sólo depende de la geometría del capacitor; es directamente proporcional al área A de cada placa inversamente proporcional a su separación d. Una observación importante es que, para un capacitor de vacío, la capacitancia es un factor independiente de la cantidad de carga en las placas del capacitor.

3. Capacitores especiales

Además del caso del capacitor de placas paralelas, nos encontramos con otros tipos de capacitores de geometría distinta, estos son:

3.1. Capacitor esférico

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En el capítulo 21 vimos que:

[pic 8]

Como el V es equivalente a E·d, obtenemos que VAB es:

[pic 9]

Por último, la capacitancia es:

[pic 10]

3.2. Capacitor Cilíndrico

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En el capítulo 23, ejemplo 23.10, se determinó el voltaje en un cilindro el cual es:

[pic 12]

Siendo que Q es simplemente la densidad de carga por el largo L, obtenemos que la capacidad es:

[pic 13]

4. Capacitores en serie y paralelo

4.1. Capacitores en serie

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En un principio no se aplica tensión, luego de conectar una batería de tensión VAB, la magnitud de carga en las placas de los capacitores conectados en serie es la misma, pero ¿Por qué?

Primero observemos la placa superior de C1, esta se ha cargado con una magnitud de carga Q, por lo que la placa inferior debe haberse cargado hasta -Q para que exista un campo eléctrico uniforme. Las cargas negativas de C1 han de haber venido del capacitor aguas abajo (C2), mas precisamente, de su placa superior la cual debe tener una carga Q, por efecto de esta última, la carga en la placa inferior de C2 debe ser -Q, de esa forma se demuestra que las cargas en las placas de los capacitores conectados en serie tienen la misma magnitud.

Matemática de la conexión

Las diferencias de potencias entre los puntos a y c, c y b, y a y b, pueden representarse como:

[pic 15]

La capacitancia equivalente Ceq de la combinación en serie se define como la capacitancia de un solo capacitor para el que la carga Q es la misma para la combinación, cuando la diferencia de potencial es la misma

[pic 16]

Al combinar las ecuaciones de arriba y las anteriores obtenemos:

[pic 17]

[pic 18]

4.2. Capacitores en paralelo

[pic 19]

En este caso las placas superiores están conectadas con alambres para formar una superficie equipotencial, y las placas inferiores forman otras. Entonces:

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