Complementos Análisis Matemático

La función con la que se trabaja en este ejercicio es la función 2π-periódica f(x) = x sin(x). En la que se considera como SF[f(x)] y T [f(x)] sus respectivas series de Fourier y Taylor para x ∈ [−π, π].

Se abordará para la función la cuestión de cuál de las dos series tiene un mayor orden de convergencia y que tipo de convergencia tiene cada serie apoyándome en los cálculos y representaciones de Matlab. 

Nota: el código se adjunta al final de esta memoria.

La serie de Fourier y de Taylor de la función son las siguientes:

[pic 1]

[pic 2]

En primer lugar, antes de comenzar el cálculo de las series de Fourier y Taylor se representa la función f(x) como tal, para ver con certeza su comportamiento:

[pic 3]

Figura 1: Representación de la función f(x) = x sin(x)

Se comienza el estudio representando en una sola imagen, en negro, la propia función f(x), en verde, SF(f(x), y en rojo, T(f(x)).

Se irán representando las series en primer lugar  para tres   sumandos, y posteriormente se van mostrando más gráficas añadiendo cada vez más sumandos, quedando de la siguiente manera:

[pic 4]

Figura 2: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 3 sumandos.

[pic 5]

Figura 3: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 4 sumandos.

[pic 6]

Figura 4: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 5 sumandos.

[pic 7]

Figura 5: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 11 sumandos.

[pic 8]

Figura 6: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 25 sumandos.

[pic 9]

Figura 7: Representación de f(x), SF(f(x) y T(f(x)) para 50 sumandos.

        Para responder a la pregunta de cuál de las dos series tiene un mayor orden de convergencia, al comprobar las gráficas, se puede ver fácilmente que la serie de Taylor es la que converge más rápidamente hacia la función f(x). Con solamente cinco sumandos, ya ha convergido casi totalmente a la función, mientras que el desarrollo de series de Fourier, no converge totalmente hasta los cuarenta o cincuenta sumandos.

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