PRONOSTICO DEL TIEMPO DE MÉXICO D.F MEDIANTE EL ANALISIS DE MARKOV

Introducción

El análisis de Markov es una excelente manera de analizar el movimiento presente de algunas variables, con el fin de pronosticar probabilidades futuras del movimiento de las mismas.

En este trabajo se realizará un análisis para considerar cual será la probabilidad de que el martes y miércoles sean  días soleados, partiendo del supuesto de que el lunes 16 de noviembre del 2015 es un día soleado.

Además se calculara el vector de distribución del estado límite de la cadena de Markov que se propondrá en el desarrollo, con la ayuda del Servicio Meteorológico Nacional y los teoremas, definiciones y aspectos  que se tiene para desarrollar dicho análisis.

Teorema: 1. el producto de un vector de posibilidades (a la izquierda) por una matriz de probabilidades (a la derecha) es un vector de probabilidades. 2. El producto de dos matrices de probabilidades es una matriz de probabilidades (Grossman, 1988)

Definición 1: una secuencia de intentos de un experimento es una cadena de Markov si

1. El resultado del intento m-ésimo depende sólo del resultado del intento (m-1)ésimo y no de los resultados en los intentos anteriores
2. La probabilidad de pasar del estado Ei al estado Ej en dos intentos sucesivos del experimento constante. (Grossman, 1988)

Definición 2: la matriz de transición de una cadena de Markov es la matriz n x n de probabilidades T= (Pij) cuya componente ij-ésima, pij es la probabilidad de que el sistema pase del estado Ei al estado Ej en intentos sucesivos del experimento.

Definición 3.- Una matriz de transición P = pij es una matriz cuadrada, con entradas no negativas, en la que la suma de cada columna es igual a la unidad.

Entonces todo proceso de Markov determina a una matriz de transición. A las matrices de transición se les llama también matrices de Markov, matrices de probabilidad o matrices estocásticas (Grossman, 1988)

“Una matriz estocástica es una matriz cuadrada cuyas columnas son vectores de probabilidad. Una cadena de Markov es una sucesión de vectores de probabilidad x0, x1, x2,. . ., junto con una matriz estocástica P, tal que x1 = Px0, x2 = Px1, x3 = Px2,... Entonces la cadena de Markov se describe mediante la ecuación en diferencias de primer orden xk+1 = Pxk para k = 0, 1, 2,...

Cuando una cadena de Markov de vectores en Rn describe un sistema o una sucesión de experimentos, las entradas en xk enumeran, respectivamente, las probabilidades de que el sistema esté en cada uno de n estados posibles o que el resultado de un experimento sea uno de la n posibles resultados. Por esta razón, frecuentemente se llama a xk vector de estado.” (Lay, 2007)

Con base a los siguientes aspectos, teoremas y definiciones citadas se desarrollara el presente trabajo

Desarrollo

De acuerdo al informe del Servicio Meteorológico Nacional obtenemos la siguiente información:

Pronostico de lunes 16 de noviembre de 2015

[pic 5]

Fuente: http://smn.cna.gob.mx/

Sin embargo, para la cadena de Markov, únicamente utilizaremos  las probabilidades del día este soleado  o con probabilidad de precipitación

Para ilustrar mejor esta situación, a continuación se muestre las graficas de dichas variables (soleado y precipitación)

Probabilidad de precipitación en México, DF durante el periodo 16 de noviembre 2015 a 25 de noviembre de  2015

[pic 6]

Fuente: http://smn.cna.gob.mx/

Índice UV en México, DF durante el periodo 16 de noviembre- 25 de noviembre de  2015

[pic 7]

Fuente: http://smn.cna.gob.mx/

Las conclusiones de  la  información anterior son las siguientes:

La unidad de tiempo es de 1 semana. De los datos sabemos que existe una probabilidad de 75% de que este  muy soleado (índice UV 9 de 12) durante el lunes,  conjuntamente, 10%  de probabilidad de que haya precipitaciones durante el día. Para lo cual, en la matriz de probabilidades se tiene que x12 es igual  0.75,  de acuerdo con la definición que se dio en la introducción: “Definición 2.- Una matriz de transición P = pij es una matriz cuadrada, con entradas no negativas, en la que la suma de cada columna es igual a la unidad (…). Se tiene que x22 es igual a 0.25, porque después de un día soleado, el siguiente puede ser que este con  muchas precipitaciones o muy soleado, de manera que la probabilidad de que ocurra estos dos casos es igual a 1. De igual manera, afirmamos que x11 es igual a 0.1, por lo tanto, x21 es igual a 0.9.

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