FORMULAS DE ALGEBRA

FORMULAS DE ALGEBRA

Monomio

Definición de monomio

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicasoperaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2 y3 z

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Operaciones con monomios

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn = (a + b)xn

2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

2x2 y3 + 3x2 y3 z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

5 • 2x2 y3 z = 10x2 y3 z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base, es decir, sumando los exponentes.

axn • bxm = (a • b)xn +m

5x2 y3 z • 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.

axn : bxm = (a : b)xn − m

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

(axn)m = am • xn • m

(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9

(-3x2)3 = (-3)3 (x3)2 = −27x6

Ejercicios resueltos de monomios

1 Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente.

13x3

Grado del monomio: 3 , coefeciente: 3

25x−3

No es un monomio, porque el exponente no es un número natural.

33x + 1

No es un monomio, porque hay una suma.

4

Grado del monomio: 1 , coefeciente:

5

Grado del monomio: 4 , coefeciente:

6

No es un monomio, porque no tiene exponente natural.

7

No es un monomio, porque la parte literal está dentro de una raíz.

2 Realiza las sumas y restas de monomios.

12x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

22x3 − 5x3 = −3x3

33x4 − 2x4 + 7x4 = 8x4

42 a2 b c3 − 5a2 b c3 + 3a2 b c3 − 2 a2 b c3 = −2 a2 b c3

3 Efectúa los productos de monomios.

1(2x3) • (5x3) = 10x6

2(12x3) • (4x) = 48x4

35 • (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z

4(5x2 y3 z) • (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

5(18x3 y2 z5) • (6x3 y z2) = 108x6 y3 z7

6(−2x3) • (−5x) • (−3x2) = −30x6

4 Realiza las divisiones de monomios.

1(12x3) : (4x) = 3x2

2(18x6 y2 z5) : (6x3 y z2 ) = 3x3 y z3

3(36 x3 y7 z4) : (12x2 y2) = 3xy5 z4

4

5 4x3y + 3x2y2 − 8x8

6

5 Calcula las potencias de los monomios.

1(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9

2(-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6

3

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x2+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2

Clases de polinomios

Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Tipos de polinomios según el número de términos

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x2

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x2 + 3x

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x2 + 3x + 5

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 • 13 + 5 • 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Ejercicios resueltos de polinomios

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 + 7X2 + 2

No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x4

Grado: 4, término independiente: 1.

4

No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2 x− 3 + 8

No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7

Grado: 3, término independiente: -7/2.

2 Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3.Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 • ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 • (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) • Q(x) = (2x2 − 3) • (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

...