Analisis Numerico

Metodo de Biseccion

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea contínua en un intervalo y supongamos que . Entonces para cada tal que , existe un tal que . La misma conclusión se obtiene para el caso que .

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función contínua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.

En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raíz de en el intervalo .

El método de bisección sigue los siguientes pasos:

Sea contínua,

i)Encontrar valores iniciales , tales que   y    tienen signos opuestos, es decir,

ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre    y  :

iii) Evaluar  . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso,  tenemos que    y    tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  .

En este caso,  tenemos que    y    tienen el mismo signo, y de aquí que    y   tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  .

En este caso se tiene que   y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

es decir,

Ejemplo 1

Aproximar la raíz de    hasta que  .

Solución

  Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de    se localiza en el intervalo  .  Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que    y    tengan signos opuestos. 

En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función    sí  es contínua en el intervalo  . Así  pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos:

i)   Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii)   Evaluamos  

iii)   Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  .  

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo  .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos  , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  . 

Calculamos el punto medio,

Y calculamos

...