Factorizacion
Enviado por matemate68 • 28 de Agosto de 2014 • 2.380 Palabras (10 Páginas) • 206 Visitas
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Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es:
(3 - x)3 , así que: 2 3 ( )3 27 - 27x + 9x - x = 3 - x
3) mn m n m n 2 3 3 2 3 + + + 3
Se ordena el polinomio con respecto a m :
3 2 2 3 m +3m n +3mn + n
se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:
3 m3 = m
3 n3 = n
El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es:
(m) (n) m n 2 2 3 = 3 , que es igual al segundo término.
El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es:
( )( )2 2 3 m n = 3mn , que es igual al tercer término.
Dado que todos los signos son positivos, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los
extremos es: ( )3 m + n , así que: 3 2 2 3 ( )3 m + 3m n + 3mn + n = m + n
4) 9 6 3 4 6 2 8q - p + 6q p -12q p
Se ordena el polinomio con respecto a q :
9 6 2 3 4 6 8q -12q p + 6q p - p
se extraen las raíces cúbicas de los términos extremos:
3 9 3 8q = 2q
3 6 2 - p = - p
El triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último es:
( 3 )2 ( 2 ) 6 2 3 2q - p = -12q p , que es igual al segundo término.
El triple producto de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último es:
( 3 )( 2 )2 3 4 3 2q - p = 6q p , que es igual al tercer término.
Dado que los signos se alternan, el binomio al cubo formado por las raíces cúbicas de los extremos es:
( 3 2 )3 2q - p , así que: 9 6 2 3 4 6 ( 3 2 )3 8q -12q p + 6q p - p = 2q - p
5) 3 2 3 2 ( )3 125x +1+ 75x +15x = 125 x + 75x +15x +1 = 5x +1
6) 4 6 2 2 4 6 ( 2 )3 8 + 6w - w -12w = 8 -12w + 6w - w = 2 - w
7) 9 12 6 4 3 8 9 6 4 3 8 12 ( 3 4 )3 64x -125y - 240x y + 300x y = 64x - 240x y + 300x y -125y = 4x - 5y
8) 2 3 6 9 4 6 6 9 4 6 2 3 ( 2 3 )3 18a b +1+ +216a b +108a b = 216a b +108a b +18a b +1 = 6a b +1
FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Sea n un número entero positivo.
· La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:
n n a + b es divisible por a + b . Por lo tanto: n + n = ( + )( n-1 - n-2 + n-3 2 - + n-1 ) a b a b a a b a b ⋯ b
· La suma de potencias iguales pares, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las bases a
menos de que sea posible transformarla en una suma equivalente de potencias impares.
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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· La diferencia de potencias iguales, sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases.
Esto es: n n a - b es divisible por a - b . Por lo tanto: n - n = ( - )( n-1 + n-2 + n-3 2 + + n-1 ) a b a b a a b a b ⋯ b
· La diferencia de potencias iguales pares, es siempre divisible por la suma de las bases. Esto es:
n n a - b es divisible por a + b . Por lo tanto: n - n = ( + )( n-1 - n-2 + n-3 2 - + n-1 ) a b a b a a b a b ⋯ b
Ejemplos.
Factorizar las siguientes sumas de potencias iguales:
1) 3 3 a + b
Solución.
Las potencias son impares, entonces es divisible por a + b :
2 2
2 3
2 3
2 2
2 3
3 2
3 3
0
a ab b
ab b
ab b
a b ab
a b b
a a b
a b a b
- +
- -
+
+
- +
- -
+ +
Por lo tanto: 3 3 ( )( 2 2 ) a + b = a + b a - ab + b
2) 32 k5 +
Solución.
5 5 5 k +32 = k + 2 , las potencias son impares, entonces es divisible por k + 2 :
2 4 8 16
0
16 32
16 32
8 16
8 32
4 8
4 32
2 4
2 32
2
2 32
4 3 2
2
2
3 2
3
4 3
4
5 4
5
- + - +
- -
+
+
- +
- -
+
+
- +
- -
+ +
k k k k
k
k
k k
k
k k
k
k k
k
k k
k k
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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Por lo tanto: 32 ( 2)( 2 4 8 16) k 5 + = k + k 4 - k 3 + k 2 - k +
3) 3 3 a -b
Solución.
La expresión es divisible por a - b :
2 2
2 3
2 3
2 2
2 3
3 2
3 3
0
a ab b
ab b
ab b
a b ab
a b b
a a b
a b a b
+ +
- +
-
- +
-
- +
- -
Por lo tanto: 3 3 ( )( 2 2 ) a - b = a - b a + ab + b
4) 729 x6 +
Solución:
6 6 6 x + 729= x +3 , las potencias son pares, entonces no es divisible por x + 3 ni por x -3.
Sin embargo, 729 x6 + equivale a ( 2 )3 ( 2 )3 x + 3 , expresión que es factorizable ya que:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( 2 )2 ( 2 )1 2
2 2 3
2 2 3
2 2 2 2
2 2 3
2 3 2 2
2 2 3 3
9 9
0
9 9
9 9
9 9
9 9
9
9 9
- +
- -
+
+
- +
- -
+ +
x x
x
x
x x
x
x x
x x
Por lo tanto: 729 ( 9)( 9 81) x6 + = x2 + x4 - x2 +
5) 729 x6 -
Solución:
Las potencias son pares, entonces es divisible por x + 3 :
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
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3 9 27 81 343
0
343 729
343 729
81 343
81 729
27 81
27 729
9 27
9 729
3 9
3 729
3
3 729
5 4 3 2
2
2
3 2
3
4 3
4
5 4
5
6 5
6
- + - + -
+
- -
- -
-
+
- -
- -
-
+
- -
- -
+ -
x x x x x
x
x
...