NUMEROS COMPLEJOS

1. Defina número complejo.

A toda expresión en la forma a + bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria( ) recibe el nombre de Número Complejo. Se designan a los números complejos con la letra Z ; así

Z = a + bi (a Î Â )

Se llama PARTE REAL a la primera componente "a" y se indica de esta forma :

Re(z) = a

Y a la segunda parte de la componente "b" se llamará PARTE IMAGINARIA.

Im(z) = b

ż cuando un número complejo se dice imaginario puro?

Si la parte real "a" es 0 se dice que el complejo 0 + bi es un Número Imaginario Puro. Es decir, es un Número Imaginario Puro, Cuando su parte real vale 0.

Ejemplo :

x2 + 16 = 0

x2 = - 16

x= ±

x= ± 4i

x1= 4i X2 = - 4i

Sean Z1 y Z2 números complejos. defina:

A. La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1 , x2) , (x3 , x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de las primeras y como segunda componente la suma de las segundas.

O sea: (x1, x2) + (x3 , x4) = (x1 + x3 , x2 + x4).

* En Forma Binómica :

Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias.

Ejemplo :

* Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i

Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) + (b1 + b2)i

B. Z1 + Z2 (adición de complejos)

Sean Z1, Z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así :

Z1 - Z2 = Z1 + (- Z2)

Es decir, restar Z2 de Z1 , es lo mismo que sumarle a Z1 el opuesto de Z2.

Si Z1 = ( x, y ) y Z2 = ( a , b )

Entonces :

Z1 - Z2 = Z1 + ( - Z2) = ( x , y ) + (-a , -b) = (x - a, y - b).

* En forma Binómica :

Para restar cantidades complejas, se restan las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí. Entonces :

Z1 - Z2 =(x + yi) - (a + bi) =(x - a) - (y - b)i.

C. Z1 - Z2 (sustracción de complejos):

Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real .

Si se cumple, por tanto, que

Z = a + bi y

=

a - bi

diremos que es el conjugado del complejo Z. En la práctica, para determinar el conjugado de un complejo basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria.

* En Forma de pares ordenados:

Si Z = (a , b) Entonces : = (a , -b)

D. (conjugado de un complejo):

Se multiplican según la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i2 = -1 . Al final se reducen términos semejantes.

La multiplicación puede hacerse más directamente observando que :

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2

ac + (ad + bc)i + bd(-1)

= (ac - bd) + (ad + bc)i

* En forma de pares ordenados :

Sean Z1 = (a , b) y Z2 = (x , y) dos números complejos, entonces, por definición : Z1 × Z2 = (a , b) × (x , y) = (a× x - b× y , a× y+b× x).

E. Z1 × Z2 ( multiplicación de complejos ) :

F. (Z1)-1 ( Inverso De Un Complejo )

Llamaremos el inverso de Z1 = a1 + b1 es : = , tal que Z× Z1 =(1 , 0).

Sea el conjunto (a,b) y el elemento simétrico : Z1 = (x , y).

Por definición : (a , b) ...