Desigualdad Triangular

Desigualdad triangular

1. Desigualdad triangular del valor absoluto de números reales

Para x, y números reales se cumple

| x + y | ≤ | x | + | y |.

Demostración: Para x e y se verifican las desigualdades:

- | x | ≤ x ≤ | x |

- | y | ≤ y ≤ | y |

Sumando ambas desigualdades tenemos

- (| x | +| y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |

y de aquí se obtiene el resultado.

2. Desigualdad del cuadrilátero. Si a, b, c y d son números reales, entonces se tiene

a b + c d ≤ [( a2 + c2 ) ( b2 + d2) ]½

Demostración: Elevando al cuadrado el miembro izquierdo se tiene:

( a b + c d )2 = a2 b2 + 2 a b c d + c2 d2 ≤ a2 b2 + a2 d2 + c2 b2 + c2 d2 (1)

haciendo uso de la desigualdad 2 x y ≤ x 2+ y 2 la cual es cierta para x e y números reales.

Factorizando el segundo miembro de la desigualdad (1) obtenemos

( a b + c d )2 ≤ ( a2 + c2 ) ( b2 + d2)

y de aquí se obtiene el resultado, al tomar raíces cuadradas en ambos lados.

3. Desigualdad triangular para los números complejos.

Sean Z = a + bi y W = c + di , dos números complejos, entonces se tiene

| Z + W | ≤ | Z | + | W |.

Demostración: Tenemos las igualdades

| Z + W | 2 = ( Z + W ) ( Z + W ) = Z Z + W W + Z W + Z W

= | Z | + | W | + Z W + Z W

Si logramos probar que

Z W + Z W ≤ 2 | Z | | W | ( 1)

se tendrá entonces | Z + W | 2 ≤ (| Z | + | W |)2 y de aquí se obtendrá el resultado.

Notemos que

Z W + Z W = (a + bi )(c - di) + (a - bi )(c + di)

= ac + bd - ( ad - bc ) i + ac + bd + ( ad - bc ) i

= 2 ( ac + bd )

≤ 2 [( a 2+ b 2)( c 2+ d 2)] ½

= 2 | Z | | W |

Nótese que hemos usado la desigualdad del cuadrilátero en la penúltima línea.

3. Desigualdad triangular para R2.

Sean V = (a ,b) , U = ( c, d) y W = ( e, f) tres vectores del plano. Entonces se tiene

| U - V | ≤ | U - W | + | W - V |

Demostración. Tenemos

| U - V |2 = ( c - a )2 + ( d - b)2 = [( c - e) + ( e - a )] 2 + [( d - f ) + ( f - b)]2

= ( c - e )2 + ( e - a)2 + 2 ( c- e)( e-a) + ( d - f )2 + ( f - b)2 + 2 ( d -f)( f- b).

Usando la desigualdad del cuadrilátero, se tiene :

2 ( c- e)( e-a) + 2 ( d -f)( f- b) ≤ 2 [ ( c - e )2 + ( d - f )2 ]½ [ ( e - a)2 + ( f - b)2 ]½

Nótese que | U - W | = [ ( c - e )2 + ( d - f )2 ]½ y | W - V | = [ ( e - a)2 + ( f - b)2 ]½

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