SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

1. SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

Un aspecto clave en la solución de las ecuaciones cuadráticas ax2+bx+c=0 tiene que ver con la factorización de los trinomios de la forma ax2+bx+c. Recordemos que estos trinomios pueden factorizarse en los reales de varias maneras:

1. Por simple inspección o tanteo, cuando los factores son enteros.
2. Por completación al trinomio cuadrado perfecto.
3. Por aplicación del teorema del factor.

Vamos a recordar, con un ejemplo, la utilización de estas tres maneras de factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c.

Factoricemos el trinomio 3x2+7x-6

1. POR SIMPLE INSPECCION o TANTEO

Multiplicamos y dividimos por 3⬄⬄⬄⇨ 3x2+7x-6=(x+3)(3x-2)[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

1. POR COMPLETACIÓN AL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Hacemos el coeficiente de x2 igual a 1⬄ Ahora debemos completar al trinomio cuadrado perfecto la expresión . Para lograrlo, debemos sumar la mitad del cuadrado del coeficiente del término ; es decir, debemos sumar (y restar para que no se altere la expresión) . Por lo tanto:⬄⬄ ⬄⬄⬄⬄ ⇨3x2+7x-6=(x+3)(3x-2)[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

1. POR APLICACION DEL TEOREMA DEL FACTOR

Al repasar la unidad 0 de este texto, recordábamos que si un polinomio tiene CEROS enteros, necesariamente estos hay que buscarlos en los divisores de su término independiente. Así, pues, los posibles ceros enteros del polinomio P(x) = 3x2+7x-6 son los divisores de 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Un chequeo rápido nos muestra que sólo x=-3 es cero entero de este polinomio. Por lo tanto, (x+3) es un factor de 3x2+7x-6. El otro factor podemos encontrarlo por simple inspección o buscando sus coeficientes a través del proceso de la división sintética; así:                     3       7        -6

                                                                                                                                 -3              -9         6[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

                                                                                                                                            3       -2        0

Luego, el otro factor es (3x-2) y la factorización completa del polinomio P(x)=3x2+7x-6 es (x+3)(3x-2).

Finalmente, conviene recordar la propiedad a•b=0 de los números reales porque la usaremos a continuación en la solución de ecuaciones de segundo grado.

PROPIEDAD DE LOS REALES PARA a•b=0

Sean a y b dos números reales: Si a•b=0 entonces a=0 o b=0

Esta propiedad establece que si el producto de dos números reales es igual a cero, entonces al menos uno de los factores (o ambos) son iguales a cero. Esta propiedad puede extenderse a un producto con más de dos factores; es decir: Si a•b•c•d=0 entonces a=0 ó b=0 ó c=0 ó d=0

Los siguientes ejemplos nos muestran de manera detallada cómo usar la factorización y la propiedad a•b=0 para resolver ecuaciones de segundo grado.

EJERCICIO 1

Resolvamos la ecuación (2x-1)(x+3)=0

La ecuación (2x-1)(x+3)=0 tiene la forma a•b=0. Por lo tanto, si aplicamos la propiedad de los números reales que acabamos de mencionar nos queda:(2x-1)(x+3)=0⬄2x-1=0 ó x+3=0 ⬄x =       ó x = -3.  Así pues, la solución de la ecuación es el conjunto S = Esta solución puede comprobarse si sustituimos la incógnita x primero por -3 y luego por  en la ecuación original; así:[pic 22][pic 23][pic 24]

Sustituimos x por -3:[ 2(-3)-11][(-3)+3]=0⇨[-6-1][0]=0⇨[-7][0]=0⇨0=0 ¡cierto!

Sustituimos x por :  ⇨[1-1] ⇨[ 0) ⇨ 0=0 ¡cierto![pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

EJERCICIO 2

Resolvamos la ecuación x2+2x=15 

La ecuación es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, lo primero que hacemos es igualar a cero; es decir: x2+2x-15=0. A continuación, factorizamos el polinomio x2+2x-15. Podemos hacerlo por simple inspección; así: (x+5)(x-3)=0 Ahora igualamos a cero cada factor: (x+5)(x-3)=0⬄x+5=0 ó x-3=0⬄x=-5 ó x=3 CONCLUSIÓN: La solución de la ecuación x2+2x =15 es el conjunto S = {-5,3} 

EJERCICIO 3

Resolvamos la ecuación 3x2 = 2x 

En la solución de esta ecuación expliquemos cada paso desarrollado:3x2-2x=0⬄x(3x-2)=0⬄x=0 ó 3x-2=0⬄x=0 ó x=  Por lo tanto, la solución de la ecuación 3x2=2x es el conjunto S = [pic 29][pic 30]

EJERCICIO 4

Resolvamos la ecuación 2x2-8x+3=0 

El polinomio 2x2-8x+3 no tiene factores enteros. Por lo tanto, es bastante difícil factorizarlo por simple inspección. Igualmente, se dificulta su factorización por el teorema del factor. Vamos a factorizarlo por completación al trinomio cuadrado perfecto. Explica cada paso realizado:

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