Sistema de posicionamiento global

Como se aplican exactamente estos temas

Cuando los satélites envían señales al receptor en la tierra llegan a superficies notablemente grandes además de tener señales en diferentes tiempos (por la distancia de los satélites a la tierra la señal puede demorarse menos o mas) entonces el receptor es el encargado de recibir todas las señales juntarlas y solucionarlas para tener su ubicación y el tiempo en el que se da esta ubicación, normalmente estas señales se envían en intervalos de medio segundo pero ya no sigamos con la teoría y demos un ejemplo de como podría darse esta situación:

[pic 1]

Supongamos que en algún t recibimos la señal de 4 satélites:

S1: [X1, Y1, Z1,  T1]

S2: [X2, Y2, Z2,  T2]

S3: [X3, Y3, Z3,  T3][pic 2]

S4: [X4, Y4, Z4,  T4]

[pic 3]

El GPS o receptor en la tierra con estas 4 señales se tiene que saber en donde estamos y el tiempo en el que se da. Aquí llega el uso de Algebra lineal.[pic 4][pic 5]

Esto es un sistema de ecuaciones lineales:

Supongamos que los satélites me mandan estas 4 señales  

Dato1= {1.1101, 1.5521, -0.5412, 1616722312.182259}

Dato2= {2.2702, 0.5123, 0.4214, 1616722313.670046}

Dato3= {0.0000, 1.5815, 0.2145, 16167722312.60019}

Dato4= {1.5145, 1.0124, -0.2315, 1616722311.949931}

“Estas son unidades radiales. (En x de S1 seria 1 radio de la tierra mas un poco mas), el ultimo numero que envió cada satélite es una estampa de tiempo”

Primero tenemos que trabajar con diferentes formulas y procesos para poder aplicar todo este problema a una matriz

Velocidad de la luz:

299792458 m/s * 1rt/6371000m * 1s/100cs = 0.470558 radio-terrestre/10^-2 seg

(Esta seria la velocidad de la luz en radios terrestres para poder trabajar este dato con los demás)

Con esto podemos plantear la distancia de los satélites al receptor:

D= Vl (t-tsi) esto con cada satélite y D(a,b) = ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)^1/2 siendo esta la distancia entre dos puntos.

Entonces d(Psi)= ((x1-xsi)^2+(y1-ysi)^2+(z1-zsi)^2)^1/2

Empecemos con el satélite 1 (s1):

((x1-xs1)^2+(y1-ys1)^2+(z1-zs1)^2)^1/2 = Vl (t-ts1)

A los computadores les queda mas fácil trabajar con potencias que con raíces entonces la pasamos al otro lado

((x1-xs1)^2+(y1-ys1)^2+(z1-zs1)^2) = Vl (t-ts1)^2

Es largo y complicado elevar al cuadrado todos los puntos y solucionar todos los satélites así que un problema de estas magnitudes es necesario resolverlo con el computador.

Desde este paso empieza el uso de algebra lineal pues al copiar todo el problema podemos ver que tenemos un sistema de ecuaciones, explícitamente un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas:

2.3202x – 22.0796y + 1.92527z = 1.6596

-2.2202x + 0.0588y + 1.5114z – 0.0787207t = -1.2727x10^8 - 1.38708

0.8088x – 1.0794y + 0.6194z + 0.102887t = 1.66339x10^8 – 0.561978

Podemos expresar esto como una matriz de coeficientes aumentada:

[pic 6]

[pic 7]

(Se recomienda utilizar Wolfram Mathematica par solucionar gran parte de los anteriores problemas)

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