Emplear el paquete de simulación MATLAB aplicado al análisis de los sistemas de control, para obtener el desarrollo en fracciones parciales y para resolver ecuaciones diferenciales.
Enviado por Alejandro Mijangos • 10 de Mayo de 2017 • Monografía • 1.682 Palabras (7 Páginas) • 404 Visitas
LABORATORIO DE CONTROL.
PRÁCTICA Nº 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE USANDO MATLAB
OBJETIVO:
Emplear el paquete de simulación MATLAB aplicado al análisis de los sistemas de control, para obtener el desarrollo en fracciones parciales y para resolver ecuaciones diferenciales.
INTRODUCCIÓN:
MATLAB (una abreviatura de MATrix LABoratory) es un sistema basado en el cálculo matricial para desarrollar aplicaciones matemáticas y de ingeniería. Se puede pensar en MATLAB como una clase de lenguaje diseñado únicamente para realizar manipulaciones matriciales. Todas las variables que se manejen en MATLAB son matrices. Esto es, MATLAB tiene un solo tipo de datos, una matriz o un array rectangular de números. MATLAB posee un amplio conjunto de rutinas para obtener salidas gráficas.
MATLAB posee una ayuda en línea a la que puede llamarse siempre que se desee. La orden help mostrará una lista de funciones y operadores predefinidos para los que hay una ayuda en línea. La orden
help ‘nombre de función’
da información sobre la función específica llamada de su finalidad y forma de uso. La orden
help help
da información de cómo utilizar la ayuda en línea.
En la mayoría de los sistemas, una vez que se ha instalado MATLAB, para llamarlo se ejecuta la orden MATLAB. Para salir de MATLAB, se ejecuta la orden exit o la orden quit.
Si se desean introducir comentarios que no van a ser ejecutados, utilice el símbolo % al comienzo de la línea.
Cuando se escribe ‘exit’ o ‘quit’, se pierden todas las variables en MATLAB. Si se introduce la orden save antes de salir, todas las variables se pueden guardar en un archivo de disco llamado matlab.mat. Cuando se vuelva a entrar en MATLAB, la orden load recuperará el estado inicial del espacio de trabajo.
El método de la transformada de Laplace se utiliza para el manejo y estudio de los sistemas lineales de control, que para su modelado usan ecuaciones diferenciales lineales y son sistemas dinámicos, que se caracterizan porque las variables modifican su valor respecto al tiempo.
La transformada de Laplace es un operador lineal que transforma las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s; para obtener la solución temporal se utiliza la transformada inversa de Laplace y como está descrita por un operador lineal, su inversa puede obtenerse por medio de tablas o en el caso de funciones complejas no comprendidas en las tablas, por el desarrollo en fracciones parciales.
Para obtener el desarrollo en fracciones parciales utilizando MATLAB, debe definirse en primer lugar, la función de transferencia:
[pic 1][pic 2] = [pic 3][pic 4] = [pic 5][pic 6]
Para que MATLAB reconozca la función de transferencia, deben introducirse los vectores fila numerador y denominador que especifican los coeficientes del polinomio numerador y denominador de la F. de T.
[pic 7]
[pic 8]
La instrucción
[pic 9]
Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los términos directos (k) de un desarrollo en fracciones simples del cociente de los dos polinomios C(s) y R(s).
El desarrollo en fracciones simples de C(s)/R(s) se obtiene mediante
[pic 10]
De esta ecuación se observa que p(1) = -p1 , p(2) = -p2, . . . , p(n) = -pn; r(1) = a1, r(2) = a2, . . . , r(n) = an. (k es un término directo).
Ejemplo. Dada la función de transferencia:
[pic 11]
Obtenga su desarrollo en fracciones parciales usando MATLAB
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14][pic 15] = [pic 16][pic 17]
Proporciona el resultado:
[pic 18]
[pic 19]
-6.000
-4.000
3.000
p=
-3.000
-2.000
-1.000
k=
2
Esta es la representación en MATLAB del desarrollo en fracciones parciales simples de B(s)/A(s):
[pic 20][pic 21] = [pic 22][pic 23]
La función residue también se puede utilizar para obtener los polinomios (numerador y denominador) a partir de su desarrollo en fracciones parciales. El comando:
[num,den] = residue (r,p,k)
Donde r, p y k están dados como en el ejemplo, se convierte el desarrollo en fracciones simples en el cociente de polinomios B(s)/A(s) de la siguiente manera:
[num,den] = residue (r,p,k);
printsys (num,den,’s’)
num/den=
[pic 24]
La función:
printsys (num,den,’s’)
imprime num/den en términos del cociente de los polinomios en s.
MATLAB tiene una función que permite encontrar los ceros y los polos de B(s)/A(s). La instrucción:
[pic 25]
Considere el sistema definido por:
[pic 26]
Para obtener los ceros (z), polos (p) y ganancia (k), se debe introducir el siguiente programa:
[pic 27][pic 28];
[pic 29]
[pic 30]
En el monitor se mostrará la siguiente información:
z=
-3
-1
p=
0
-6.000
-4.000
-2.000
k=
4
Los ceros están en s= - 3, y – 1. Los polos están en s= 0, -6, -4 y -2. La ganancia k es 4.
Si están dados los ceros, los polos y la ganancia k, entonces el programa en MATLAB generará num/den:
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
[pic 37]
Para resolver una ecuación diferencial utilizando MATLAB, se aplica la transformada de Laplace a la ecuación diferencial, se sustituyen las condiciones iniciales para obtener un cociente que es el que se introduce a MATLAB para calcular los residuos.
NOTA: La instrucción ilaplace( ) permite obtener la transformada inversa de Laplace.
DESARROLLO:
- Utilizando MATLAB para calcular el desarrollo en fracciones parciales, encuentre la transformada inversa de Laplace.
- [pic 38][pic 39]
- [pic 40][pic 41]
- [pic 42][pic 43]
- [pic 44][pic 45]
- [pic 46][pic 47][pic 48]
En todos los casos compruebe manualmente los resultados obtenidos con MATLAB.
- Utilizando MATLAB resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
- 2[pic 49][pic 50]+ 7[pic 51][pic 52], x(0)=3, [pic 53][pic 54]
- [pic 55][pic 56]
- [pic 57][pic 58]
- [pic 59][pic 60]
En todos los casos compruebe manualmente los resultados obtenidos con MATLAB.
...