Estudio de los conceptos de probabilidad

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Estudio de los conceptos de probabilidad

Los temas que desarrollaremos en el presente módulo son los siguientes: 

1. Diferencia entre la escuela clásica, la subjetivista y la frecuencial de probabilidad.
2. Reglas básicas de probabilidad.

Introducción

Cuando trabajamos con datos de una población a las distintas medidas que obtenemos las llamamos parámetros. Estos últimos describen y caracterizan a la población y es a través de ello que podremos tomar decisiones de manera directa. 
En cambio, cuando trabajamos con muestras, antes de tomar decisiones con respecto a toda la población, debemos realizar la generalización de los resultados obtenidos a partir de la muestra con respecto a los parámetros. Este proceso de vinculación es lo que llamaremos estadística inferencial.

Fenómenos Determinísticos y Fenómenos Aleatorios:

Los Fenómenos Determinísticos son aquellos de un comportamiento exacto y previsible. En cambio, los Fenómenos Aleatorios son de resultado incierto, no tenemos seguridad de cuál será el resultado final, conduciéndonos estos resultados inciertos al concepto de Espacio Probabilístico.

1. Espacio Probabilístico y Eventos:

Al espacio probabilístico lo simbolizaremos con la letra griega omega (Ω) y es el conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Cada uno de los resultados posibles recibe el nombre de evento. Cada uno de estos últimos, a su vez, tendrá asociado un número que llamaremos probabilidad.

Los eventos elementales, constituyen todas las alternativas, igualmente posibles, exhaustivas y mutuamente excluyentes.

Un espacio probabilístico elemental es el conjunto de eventos elementales, finito o infinito, que puede verificar una hipótesis dada, cada uno de los cuales lleva asociado un valor numérico que definiremos como probabilidad del evento elemental.

Aclararemos los conceptos anteriores a través de un ejemplo:

Supongamos que se lanza una moneda perfecta, al arrojarse pueden presentarse dos resultados posibles: cara o seca. La salida de cualquiera de esos resultados posibles es un evento elemental y, esos dos eventos, constituyen un conjunto de elementos igualmente posibles ya que cualquiera puede salir sin preferencia de uno sobre otro.
Exhaustivo, porque fuera de esos resultados no pueden presentarse otros. 
Mutuamente excluyentes, porque si al arrojar la moneda sale cara excluye la salida de seca y viceversa.

Simbólicamente:

Ω = { C, S } C = cara S = seca N = 2 (número de eventos elementales)

P (C) = P (S) = 1 / N = 1 / 2

Es importante resaltar que los eventos y solamente los eventos tienen probabilidad. No tiene sentido hablar de probabilidad como un concepto en sí mismo.

1. Teorías Probabilísticas:

Anteriormente hemos mencionado que cada uno de los resultados posibles de un determinado experimento lleva asociado un número llamado probabilidad, ahora bien: ¿cómo cuantificaremos esa probabilidad? En el afán de lograr esa cuantificación es que surgieron distintas escuelas de probabilidad.

Teoría Clásica

Esta teoría sostiene que el valor de la probabilidad de un evento surge del cociente entre el número de casos favorables a su presentación y el número de casos igualmente posibles del espacio. Se hace la suposición de que los sucesos de un experimento son igualmente posibles. 

Ejemplo: 

A = {salida de cara en el experimento de arrojar una moneda perfecta}

P (A) = 1 / 2 = 0,50

Teoría Frecuencial

Esta teoría define a la probabilidad como el valor límite de la frecuencia relativa, de un determinado suceso para cuando el número de observaciones tiende a infinito.

P (A) = lim hi
n → ∞

En otros términos podríamos decir que la frecuencia relativa se torna estable a medida que aumenta el número de observaciones.
Determinamos con qué frecuencia algo ha ocurrido en el pasado, empleando este dato para predecir de que vuelva a ocurrir en el futuro. El principal inconveniente que presenta esta teoría es la probabilidad de experimentar que muchas veces se torna imposible.

Teoría Subjetivista

Esta teoría sostiene que la probabilidad es producto de la apreciación que cada individuo pudiese hacer en relación a la posibilidad de que un evento suceda o no suceda. Esta teoría tiene escaso rigor matemático y refleja sentimientos y opiniones respecto a las posibilidades de que ocurra un resultado en particular.

Debemos destacar que las diferencias entre las distintas teorías se reducen a los fundamentos y exposición matemática, ya que desde el punto de vista de las aplicaciones, son en gran medida coincidentes.

1. Eventos Particulares:

Ya hemos visto que Ω representa al espacio probabilístico. A este también se lo suele representar por S (del inglés ¨space¨).

Haremos mención a dos eventos particulares:

Evento Cierto: es aquel para el cual todos los eventos elementales le son favorables. Para el ejemplo que hemos venido planteando de arrojar una moneda, supongamos que se pidiera la presentación de cualquiera de las dos caras, tendremos la seguridad que aparecerá alguna de las caras.

Evento Imposible: es aquel para el cual ninguno de los eventos elementales le es favorable. En el caso de arrojar una moneda sería el evento de que salgan tres caras. A la probabilidad de este evento lo simbolizaremos como:

P (∅) = 0 / N = 0

4. Presentación Axiomática:

Axiomas para la familia de eventos:

Llamaremos F al conjunto que llamaremos familia de eventos, que corresponde a todos los eventos del espacio probabilístico y a todos los eventos compuestos posibles que se pueden formar con ellos. 

1. El evento seguro y el evento imposible pertenecen a la familia de eventos.

Ω ∧ ∅ ⊂ F

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5- Teorema:

Dados dos eventos A y B que pertenecen a la familia de eventos, la diferencia de A – B, o B – A, también permanecerán a dicha familia.

Si A ∧ B ⊂ F ⇒ A – B ∧ B - A ⊂ F

5. Axiomas de Probabilidad

• Si A es un evento que pertenece a la familia de eventos, A llevará asociado un número llamado probabilidad de A.
• Axioma de no negatividad: La probabilidad de un evento es siempre no negativa
  
  P (A) ≥ 0

• Axioma de certidumbre: La probabilidad de todo el espacio probabilístico es igual a uno.
  
  P (Ω) = 1

• Axioma o ley de probabilidad total: Dado un conjunto de eventos Ai, finito o infinito, que pertenece a la familia de eventos, mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de dichos eventos, es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

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1. Teoremas relacionados a la Probabilidad

1. Si A es un evento, la probabilidad del evento complementario, es igual a uno menos la probabilidad del evento A.

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P (A) = 1 - P (A) P (A) + P (A) = 1

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