Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

4.2.6. Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación

Una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

DEFINICIÓN

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

SI A = 0, A LA SERIE SE LE LLAMA SERIE DE MACLAURIN.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

SERIES DE MACLAURIN (TAYLOR ALREDEDOR DE 0) NOTABLES

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

Serie geométrica

Teorema del binomio

Para

Y cualquier complejo

Funciones trigonométricas

Donde Bs son los Números de Bernoulli.

Funciones hiperbólicas

PASOS PARA ENCONTRAR UNS SERIE DE TAYLOR

1.- derivar varias veces y evaluar cada derivada en c.

Intentar de reconocer un patrón en estos números

2.- usar la sucesión desarrolla en el primer paso formar los coeficientes de Taylor y de terminar el intervalo de convergencia de la serie de potencia resultante.

3.- dentro de este intervalo de convergencia, determine si la serie converge o no a f(X)

La determinación directa de los coeficientes de Taylor o de Maclaurin usando derivación sucesiva pude ser difícil.

CASO DE UNA VARIABLE

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido

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