Distribuciòn De Poisson

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Función de probabilidad

El eje horizontal es el índice k.

Función de distribución de probabilidad

Parámetros

Dominio

Función de probabilidad(fp)

Función de distribución(cdf)

(dónde es laFunción gamma incompleta)

Media

Mediana

Moda

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Entropía

Función generadora de momentos(mgf)

Función característica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discretaque expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Contenido

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• 1 Propiedades

• 2 Intervalo de confianza

• 3 Relación con otras distribuciones

o 3.1 Sumas de variables aleatorias de Poisson

o 3.2 Distribución binomial

o 3.3 Aproximación normal

o 3.4 Distribución exponencial

• 4 Ejemplos

• 5 Procesos de Poisson

• 6 Enlaces externos

• 7 References

• 8 Véase también

[editar]Propiedades

La función de masa de la distribución de Poisson es

donde

 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).

 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Losmomentos de orden superior son polinomios de Toucharden λ cuyos coeficientes tienen una interpretacióncombinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número departiciones de tamaño n.

La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan lafunción parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

[editar]Intervalo de confianza

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el 15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:

entonces los límites del parámetro están dadas por: .

[editar]Relación con otras distribuciones

[editar]Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

.

[editar]Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante,

...