Actividad 7. Practicando la deducción matemática

Desarrollo de la práctica:

1. Lean  el siguiente problema:
   
   Es famoso el problema que Gauss resolvió con un par de multiplicaciones, cuando su maestro le pidió sumar del uno al cien. El gran niño-matemático se dio cuenta que toda la suma se daba como dos productos: el número final de la serie por el número siguiente divididos entre dos.

1. Demuestren inductivamente que esto sucede en los primeros diez números.
   
   Es decir:
   
   1+2 = 3 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 3).
   1+2+3=6 (el número final de la serie multiplicado por el siguiente y dividido entre dos es igual 6).
   1+2+3+4= 10
   1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ¿?
2. Solamente hay que seguir los pasos para comprobar que con este método es  rápido y el resultado es verídico.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 * 6) / 2 = 15  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (6 * 7)/2 = 21                                                                                                  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (7 * 8)/2 = 28

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = (8 * 9)/2 = 36

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (9 * 10)/2 = 45

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (10 * 11)/2 = 55

1. Observen lo siguiente: 
   
   Imaginen que queremos sumar del 1 al 10 y a esta suma la simbolizamos simplemente como “S”.
   Entonces:
   1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = S
   Esto mismo podemos hacerlo al revés:
   10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = S
   
   Si sumamos las dos series, observamos que cada par de la serie suma la misma constante (11) diez veces, y todo esto será obviamente igual a 2S. Para entender esto, observen la siguiente suma término a término: 

1   +  2 +  3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10   =   S
10 +  9 +  8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1     =   S
11 + 11+11+11+11+11+11+11+11+11 =  2S

1. Expresen S de la siguiente manera: 
   [pic 2]
2. Demuestren que:
   [pic 3]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 … + n = s

N + n-1 + n-2 + n-3 + n-4 + n-5 + n-6 + … 1 = s

  (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + (1+n) + … + (1+n)= 2s

(n)(n+1) = 2s

S = (n)(n+1)/2

Segunda parte

1. Resuelvan en equipo el siguiente problema:
   ¿Cuántos saludos se dan en un grupo de 20 personas? 

1. Por medio de un diagrama, expliquen cómo se van  generando los primeros 6 números de la serie.  
   
   Por ejemplo:

Con dos personas  (un saludo)
[pic 4]
Con tres personas (tres saludos)
[pic 5]

...