Algebra Primero Medio

MATEMÁTICA

MÓDULO 1

Eje temático: Álgebra y funciones

1. OPERATORIA ALGEBRAICA

1.1 TÉRMINOS SEMEJANTES

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a2b y 5a2b son semejantes. Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal. Por ejemplo:

-2a2b + 5a2b = 3a2b

10x2z3 –22x2z3 = -12x2z3

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a2b + 13ab2 no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

1.2 ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-2ab + 2a - ab

2

1.3 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x2y3 z. 4x4y2 = 8x6y5z

Multiplicación de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab2 + 4b2c2) = 2ab . 3a - 2ab . ab2 + 2ab . 4b2c2 =

6a2b – 2a2b3 + 8ab3c2

Multiplicación de binomio por binomio: se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b2c) (4a2 + 5ab3) = 2a . 4a2 + 2a . 5ab3 – 3b2c . 4a2 – 3b2c . 5ab3 =

8a3 + 10 ab3 – 12 a2b2c – 15 ab5c

Multiplicación de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =

2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz2 – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz2 + 4z2 . 5x + 4z2 . 2xy + 4z2 . 4xz2 = 10x2 + 4x2y + 8x2z2 – 15xy – 6xy2 – 12xyz2 + 20xz2 + 8xyz2 + 16xz4

1.4 PRODUCTOS NOTABLES

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

Suma por su diferencia:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Cuadrado de binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3

Multiplicación de binomios con término común:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Cuadrado de trinomio:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Cubo de binomio:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Puedes estudiar la interpretación geométrica de los productos notables en los siguientes sitios:

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/visualizaciones/productos_notables_visualizaciones.htm#

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

Para un estudio de productos notables, puedes visitar la siguiente página:

http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PHPSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159

1.5 FACTORIZACIÓN

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3

Aquí el factor común es: 5xy2z2, por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x2y2z3 – 5xy3z2 + 10x4y4z3 = 5xy2z2 (3xz – y + 2x3y2z), lo que corresponde a su factorización.

4

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a2 – 16b4

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b2 :

Por lo tanto: (5a)2 – (4b2)2 = (5a + 4b2) (5a - 4b2)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ejemplo:

...